图形的相似整章教案

第四章图形的相似41成比例线段教学目标： 【知识与技能】结合实际情境了解线段比的概念，并会计算两条线段的比；了解比例线段的概念；理解并掌握比例的基本性质，并能进行简单应用。 【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题【情感态度】通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系【教学重点】理解线段的比和比例线段的概念，会求两条线段的比及判断线段是否成比例【教学难点】掌握比例的基本性质，并能进行简单应用教学设计：一、自主学习请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系二、群体议论引入线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比(ratio)ABCDmn，或写成，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项如果把表示成比值k，那么k，或ABkCD.两条线段的比实际上就是两个数的比如图，五边形 ABCDE与五边形ABCDE形状相同，AB5 cm，AB3 cm.ABAB53，就是线段AB与线段AB的比. 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关但要采用同一个长度单位做一做：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算，值你发现了什么？ 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/bc/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段上图中AB，EH，AD，EF是成比例线段，AB，AD，EH，EF也是成比例线段议一议：如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么adbc吗？反过来如果adbc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？比例的基本性质：如果，那么adbc.如果adbc(a，b，c，d都不等于零)，那么.三、相机引导教材例1：如图，一块矩形绸布的长ABa m，AD1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即，那么a的值应当是多少？四、拓展延伸请同学们完成探究在线高效课堂“互动课堂”部分五、教学反思：42相似多边形教学目标： 【知识与技能】了解相似多边形的概念和性质；能根据定义判断两个多边形相似；会用相似多边形的性质解决简单的几何问题。【过程与方法】理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用【情感态度】激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力【教学重点】相似多边形的定义和性质【教学难点】如何判断两个多边形是否相似教学设计： 一、自主学习如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图形请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？二、群体议论1相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1四边形ABCD.相似多边形对应边的比叫做相似比图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k.2观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？这两个五边形是_，即_3问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形的性质：_三、相机引导1下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？(1)正三角形ABC与正三角形DEF；(2)正方形ABCD与正方形EFGH.解：(1)由于正三角形每个角都等于60，所以AD60，BE60，CF60.由于正三角形三边相等，所以ABDEBCEFCAFD；(2)由于正方形的每个角都是直角，所以AE90，BF90，CG90，DH90，由于正方形的四边相等，所以ABEFBCFGCDGHDAHE.2两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为2.解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是51012，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1x12，解得x2，即后一个五边形的最短边的长为2.3如图，四边形ABCD四边形ABCD，则170，AD28.分析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得解：四边形ABCD四边形ABCD，则1B70，.即，解得AD28，170.四、拓展延伸：做一做：一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板，如图所示，镶在其外围的木制边框宽7.5 cm，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？(让学生先判断，分组讨论，再通过计算验证自己的判断)五、教学反思43探索三角形相似的条件教学目标： 【知识与技能】经历三角形相似的判定定理 的探索及证明过程；能应用定理判定两个三角形相似，解决相关问题【过程与方法】让学生经历观察、试验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐【教学重点】三角形相似的判定定理1及应用【教学难点】三角形相似的判定定理1的证明教学设计：一、自主学习现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下A和B比较完整如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？二、群体议论问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法1动手试验： 现在，已量出A60，B45，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作A60，B45的ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系你有哪些发现？在小组内交流学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论： 这样的两个三角形不一定全等 两个三角形三个角都对应相等 通过度量后计算，得到三边对应成比例 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题： 两角对应相等，两三角形相似2进而让学生画出图形，写出已知、求证已知：如图ABC和ABC中，AA，BB.求证： ABCABC.证明：在ABC的AB上截取BDBA，过D作DEAC，交BC于E.ABCDBE，BDEA，AA，BDEA，BB，BDBA，DBEABC，ABCABC.三、相机引导1求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似已知：如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高求证：ABCACDCBD.证明：略2判断题：(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似()(2)所有的直角三角形都相似() (3)有一个角相等的两个等腰三角形相似() (4)顶角相等的两个等腰三角形相似()四、拓展延伸：如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则AGDEGCEAB.分析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角G外，由BCAD可得12，所以AGDEGC.又13(对顶角)，由ABDG可得4G，所以EGCEAB.6如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC的边上，并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似并说明线段DE的画法分析：画相似的三角形主要是作相等的角，所以需要画平行线如：五、教学反思：44利用相似三角形测高教学目标： 【知识与技能】让学生会用相似三角形解决实际问题【过程与方法】能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题【情感态度】通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力【教学重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度【教学难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题教学设计：一、自主学习在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？二、群体议论1利用阳光下的影子测量旗杆高度从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形即EFDABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度2利用标杆测量旗杆高度当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H，于是得DHFDGC.因为可以量得AE、AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DHAE，DGAB，由得GC，旗杆高度BCGCGBGCAD.对比过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明DHFFMC由，可求得MC的长于是旗杆的长BCMCMBMCEF.3利用镜子的反射测量旗杆高度这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C，EADEBC且EBCEBC，EADEBC，测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC.三、相机引导，拓展延伸：1如图，一人拿着一把刻有厘米分划的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12米，CE30米，求BC.由于ADFAEC，又AGFABC，从而可以求出BC的长解：AEEC，DFEC，ADFAEC，DAFEAC，ADFAEC.又GFEC，BCEC，GFBC，AFGACB，AGFABC，AGFABC，.又DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12米，EC30米，BC6米即电线杆的高为6米四、教学反思：45相似三角形的性质教学目标： 【知识与技能】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质；利用相似三角形的性质解决一些实际问题【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律【教学重点】掌握相似三角形中对应线段比值与相似比的关系，理解相似三角形的性质 【教学难点】利用相似三角形的性质解决一些实际问题教学设计：一、自主学习在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质二、群体议论内容：探究活动一：(投影片)在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题如图，小王依据图纸上的ABC，以12的比例建造了模型房梁ABC，CD和CD分别是它们的立柱(1)试写出ABC与ABC的对应边之间的关系，对应角之间的关系(2)ACD与ACD相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比(3)如果CD1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？生：解：(1).AA，BB，ACBACB.(2)ACDACD.CDAB，CDAB，ADCADC90.AA，ACDACD(两个角分别相等的两个三角形相似).(3)，CD1.5 cm，CD3 cm.(4)相似三角形对应高的比等于相似比探究活动二：(投影片)如图：已知ABCABC，相似比为k，AD平分BAC，AD平分BAC；E、E分别为BC、BC的中点试探究AD与 AD的比值关系，AE与AE呢？要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论生1：解：ABCABC，BACBAC， BB，k.AD平分BAC，AD平分BAC，BADBAD.BADBAD(两个角分别相等的两个三角形相似)k. 生2：解：ABCABC，BB，k. E、E分别为BC、BC的中点，BEBC，BEBC.k，k.BB，BAEBAE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)k.三、相机引导1如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则等于DA. B.C. D.分析：由题意可知DAODEA，.所以选D.2已知ABCABC，BD和BD是它们的对应中线，且，BD4，则BD的长为_6_3已知ABCABC，AD和AD是它们的对应角平分线，且AD8 cm, AD3 cm.则ABC与ABC对应高的比为_四、拓展延伸如图，AD是ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC60 cm，AD40 cm，四边形PQRS是正方形(1)ASR与ABC相似吗？为什么？(2)求正方形PQRS的边长解：(1)ASRABC.理由是：四边形PQRS是正方形，SRBC.ASRB，ARSC.ASRABC(两角分别相等的两个三角形相似)(2)由(1)可知ASRABC.(相似三角形对应高的比等于相似比)设正方形PQRS的边长为x cm，则AE(40x) cm.，解得x24.正方形PQRS的边长为24 cm.请同学们完成探究在线高效课堂“互动课堂”部分五、教学反思46图形的位似教学设计： 【知识与技能】了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心；理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题【过程与方法】采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习【情感态度】使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知识的实用性【教学重点】图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小【教学难点】探索位似概念、位似图形的性质的过程及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小教学设计：一、自主学习下列图片是形状相同的一组图形在图上取一点A与图上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其他点呢？二、群体议论1观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形三条件缺一不可：两图形相似；每组对应点所在直线都经过同一点；对应边互相平行(或在同一直线上)2把下面的四边形缩小到原来的(相似比是或位似比是)解：(位似中心在图形外)作法略四边形ABCD即为所求你有其他画法吗？请互相交流【归纳总结】画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论三、相机引导，拓展延伸1. 下列说法中正确的是（ ）A位似图形可以通过平移而相互得到B位似图形的对应边平行且相等C位似图形的位似中心不只有一个D位似中心到对应点的距离之比都相等2如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD2 cm，OA60 cm，OB15 cm，则AC的长度为_8_cm_3如图，ABAB，BCBC，且OAAA43，则ABC与ABC是位似图形，位似比为74；OAB与 OAB是位似图形，位似比为74.四、教学反思：13