lr第六章方差分析

第六章方差分析概述一、方差分析（analysis of variance，简写为 ANOVA）1 .由来：2 .用途:（1）比较一个因素（factor）的两个或多个水平（levels）的效应（effect） ； （2）比较两个或多个因素 以及它们之间的交互作用（3）回归方程线性假设检验3.应用条件：（1）各个样本是相互独立的随机样本（2） 各样本来自正总体（3）各总体方差相等，即方差齐。第一节完全随机设计的方差分析一、全随机设计（completely random design）的定义：见p 6二、全随机设计试验的目的：是通过两个或多个样本来推断 相应的总体均数是否相等。三、全随机设计方差分析的基本原理：变异原因变异表现TR处理因素一组间变异（可以从各组均数间的差异看出来） E随机因素一组内变异（即各组组内数据之间的差异）备注：随机因素包括个体差异，测量及化验误差等。方差分析原理的直观理解：f = TREE若F=1或F21时，各种处理方案间的差别可能无统计学意义。若F值明显大于1时，各种处理方案间的差别有统计学意义四、完全随机设计方差分析的基本步骤和方法(1) 建立假设：H0： = = 二H1： R. (i=1,，c)不全相等(2) 确定检验水准a和对应的临界点Fa(3) 计算统计量F(4) 用统计量F和Fa作比较，以作出统计推断，判断规 则如下：(1)若FVFa，根据a水准判断总体均数间 的差别无统计学意义，记为Pa。(2)若FNFa， 根据a水准判断总体均数间的差别有统计学意义，记为 PWa。完全随机设计的数据结构(见P46表6-1)水平：在试验设计中常把因素的不同状态称为水平用i (i=1，2，c)表示c个不同的处理(treatment)分组（即水平）；第i组的样本容量为牛 （各可以不相等）, 总样本容量为N = n1 + n2 + . + n ；用X,.表示第i组的第j个观 察值（j=1,2,*）。七是第i组的均值；x是总均值。表6-1完全随机设计的数据结构处理分组观察值组均值样本容量1XX12,X inx1n12X疽 X22，X2，2x2n2cX1 X 2- Xcncxcnc列表计算：（1）表计算各组的Z x，Z x 2及总的 x和 x 2 /、2一 一（2）算校正数C = ZZ X /N 简记为C = （SX） 2/NJ（3）计算SSt （总的离均差平方和）SST= Z 勺（X” - x）2 =z x 2 -（Z x ）2. N =（N D S总2（6-1），=1 j=1自由度V T=N -1（4）计算SS（组内离均差平方和）:eSS =赧勺（X -X ）2 =z S 2（n 1）（6-2）eij illi=1 j=1自由度 v = N - c由于sse的大小与自由度有关，能够客观反映组内变异的 是组内均方ms = ss /v（6-3）计算ss tr （组间离均差平方和）ss =Y n （x, - x）2，（6-4）i=1自由度 V TR = c - 1 o显然，组间离均差平方和的大小与自由度有关。能够客观 反映组间变异的是组间均方msr = ssR /v tr ,（6-5）（在数学上可以证明ss广ssR + sse（6-6）v =v +v（6-7）（6） f = 土（6-8）mse完全随机设计资料方差分析的计算表6-2 （见P 47）表6-2完全随机设计资料的方差分析表变异来源平方和自由度 均方 F总变异 Z X 2 C组间一 Cni=1iSS /VTR TRMStr / MSSS /Ve e组内SST-SSTR方差分析的F检验拒绝检验假设H0时，只能认为被推断的各个 总体均数不全相等。差异究竟出现在哪两个总体之间并不清 楚。如果需要进一步明确哪两个总体均数之间存在差异，还需 要作均数间的两两比较（将在本章第三节介绍）。第二节随机区组设计的方差分析一、机区组设计（randomized block design ）的定义：二、机区组设计用途：考察两个因素（处理因素A和区组因 素B）的作用三、机区组设计资料的总平方和可以分解为三项：(6-10)SST =气 + SSB + SS随机区组设计的方差分析的计算见表6-7（P51）表6-7随机区组设计的方差分析表变异来源平方和自由度均方F总变异 X 2 - CN-1 或 cr-1因素A ( X,)以 r-Cc-1SS/(c-1)AMS/MSeA因素B (X c - Cr-1SS/(r-1)BMS/MSeB误差j 1SSY - SSA-SSB(c-1)(r-1)SSe/ve其中校正项C共X如n。c为因素A的水平数，r为因素B 的水平数。在随机区组设计中因素A每个水平观察的例数恰好 等于因素B的水平数r；而因素B每个水平观察的例数恰好为 因素A的水平数c。例6.3备注：有学者建议，当区组因素没有统计学意义时，把区组的 变异平方和并入误差平方和（自由度同时作相应的合并），重 新计算误差均方及F统计量，以期提高检验的精度。表6-12下方列出了合并误差平方和之后的检验结果。（见p56）第三节多个样本均数的两两（多重）比较均数间多重比较（multiple comparison ）的目的：是推 断差别究竟存在于哪些总体均数之间。一、q-检验法（Newman-Keuls test，NK）用于对多个样本均 数每两个作比较，检验统计量为:（6-11）q =（族）/f 与（土 +） a b 2 n nv = ve式中n, n为两个对比组的样本均数，MS。是方差分析中的误差 均方（或组内均方），nA,nB相应为两对比组的样本例数。V e 为方差分析中误差均方的自由度。例6.5对例6.4中三组PAM存活率均值作两两比较。（1）将三组样本均数从大到小排列，并编组次：（2）建立检验假设，H0：七=% （两对比组PAM总体存活率相同）H1：七七（两对比组PAM总体存活率不同）a = 0.05应用q-检验法的检验过程归纳为表6-13（见P57）。a是排序后两对比组间（含两对比组）包含的组数。二、新复极差法（Duncans new multiple range method,Duncan 新法） 新复极差法可用于对照组与各处理组比较。（6-12）v = ve式中,可为两个对比组的样本均数，MS。是方差分析中的误差 均方（或组内均方），nA,nB相应为两对比组的样本例数。V e 为方差分析中误差均方的自由度。例6.6用新复极差法将例6.2中两组肾缺血动物的NO均值与 对照组分别作比较。（1）样本均数从大到小排列并标识组别 （2）建立假设检验H0：旦.=四B （正常对照组与肾缺血60分钟组的NO总体均值相 同）H1：旦.七（正常对照组与肾缺血60分钟组的NO总体均值不 同）a = 0.05(3) 计算统计量q，(4) 查p值并统计推断(二)肾缺血60分钟再灌流组的NO均值与正常对照组比较(计 算方法如上所述)第四节析因设计的方差分析一、析因设计(factorial design )如果把不同因素间的每 一种因素水平组合分别看作是一种处理，应用前述的完 全随机设计的方差分析方法只能对各种组合的总体均数 作比较。二、析因试验设计的方差分析用途：不仅可以分析每个因素的 单独效应、主效应，还可以考察实验因素之间交互作用的效应。通过析因设计可以筛选最佳治疗方案、最佳药物配方以及最佳 试验条件等等最简单的析因设计方案可以考察两个因素(分别记为A与B),每个因素考察两个水平，共有2X2=4种不同的因素水平组合。1. 单独效应(simple effect) 是指其他因素固定在一 个水平时，余下的一个因素不同水平之间均数的差别。2. 主效应(main effect)是指某一因素各水平间的平均差别。它与单独效应的区别是，主效应所指的某因素各水平 间的平均差别是综合了其他因素各水平与该因素每一水平所 有组合的情况。3. 交互效应（interaction）如果一个处理因素各单独效 应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅度超出随机波动 的程度，则称两个因素间存在交互效应或交互作用。在临床实 践中，不同药物间的协同作用或拮抗作用都可以看成是交互作 用的实例为了分析交互效应，两因素析因设计的方差分析要求因素 间各水平的每种组合观察的例数一定要相等三、析因设计中的因素分类：（1）随机效应两种类型：如果某 一试验因素的水平很多，析因设计采用的是从该因素所有可能 的水平中随机抽取的若干个水平（即所有水平的一个随机样 本），试验的目的是通过设计方案中出现的水平（即样本）去 推断该因素所有水平（即全局）的状况，这样的因素属于随机 效应型。（2）固定效应：如果一个因素的每个水平的总体均数 M】，M 2,，M c是固定的数值（虽然未知），则该因素属于 固定效应型。例如，血型作为一个因素时，血型的四个水平（A、B、AB、O）的效应总体均数是固定的。所以它属于固定效应型。 例如，为了推断某大学30余所学院之间学生的英语等级考试 成绩是否平衡，把学院作为因素，从30余所学院中随机抽取 5所作为学院的样本。从而设计方案中学院因素具有5个水平 （因为进入设计方案的5所学院需要通过抽样来确定，这5个 水平的效应的总体均数是随机变量。这与固定效应型因素不 同）。同时把性别作为具有两个水平的另一个因素。在这项设 计中，学院就是随机效应型因素，性别是固定效应型因素四、析因设计的统计模型分类：（1）随机效应型 （random-effect model）（因素A、B均为随机效应型）、（2） 固定效应型（fixed-effectmodel）（因素A、B均为固定效应 型）（3）混合型（mixed model）（因素A为固定效应型，B为 随机效应型）。备注（1）在不同类型的模型之间，检验统计 量f的构造是有区别的。（2）不论哪一种效应模型，方差分析 中变异的计算都是相同的。用sst表示总离均差平方和，sstr为处理因素离均差平 方和（反映的是因素水平的所有组合之间的变异），SSA与SSB 分别为因素A与B的离均差平方和，SS为交互效应的离均差 AB平方和。两因素析因设计资料的总离均差离均差平方和SST可 分解为四项：sst = ssa + ssb + ssab + ss （6-13）其中SS. + SSB + ssLtr。如果因素A具有c个水平，因素B 具有r个水平，每个因素水平组合有n例观察值，两因素析因设计中各变异的计算方法如表6-14，其中校正数 C = （SX）2 /N。表6-14两因素析因设计方差分析变异的计算变异来源平方和（SS）自由度（V） 均方盛）处理因素A因素B(S Xk )2k2一nXk)2Cnrnc-Cj因素 Ax因素 B SSR - SS - SSB误差SS = sst - SSr总变异 Z X 2 - Ccr - 1c - 1r (c-1) (r-1)cr(n-1)crn - 1 或 N-1SSJ* A ASSMSS ab/VabSS /ve e作析因方差分析时应首先检验交互作用。各种模型所用的统计量均是：%瑚S/叶（SSJ%）/ （ SS）， （6-14）分子与分母的自由度分别为（c-1）（r-1）和cr（n-1）。一、随机效应模型的方差分析随机效应型析因设计：（1）如果对交互作用的检验结论为 有统计学意义，对因素A和B适用的检验统计量分别为FA=MSA/MSAB，A，V2=VAB（ 6-15）和FB=MSB/MSAB，V1=VB，V2=VAB（ 6-16）（2）如果对交互作用的检验结论为没有统计学意义，对因素A和B适用的检验统计量分别为FA=MSA/MSW，V1=VA，V2=VW（6-17）和FB=MSb/MSw，Vi=Vb，w（6-18）其中MS = （SS +SS&R） / 3 +*r）, vw=v +v .（6-19）W e AB e AB We AB 方差分析见表6-16（七）二、固定效应模型的方差分析对于固定效应型析因设计：（1）如果对交互作用的检验结 论为有统计学意义，对因素A和B适用的检验统计量分别为FA=MSA/MSe, v1=Vk v2=ve（ 6-20）和FB=MSB/MSe，官B，V2=Ve（6-21）（2）如果对交互作用的检验结论为没有统计学意义，对因素 A和B适用的检验统计量分别为FA=MSA/MSwV1=A，V2=Ve（6-22）和 FB=MSB/MSw，V1=VB，V2=VW（ 6-23）其中MSW及其自由度仍按（6-19）式计算。方差分析见表6-18（七）三、混合模型的方差分析对于混合模型，不论交互作用是否有统计学意义，对固定效应型因素适用的检验统计量均为F = % , v =v a，v =v ab.(6-24)B对随机效应因素适用的检验统计量为F =邮 ,v =v , v =v .(6-25)b MS 1 B 2 e e将随机效应型、固定效应型和混合型析因设计方差分析的检验 统计量归纳成表6-21(见P67)。注意，在所有三种模型中检验 交互作用的统计量均为F=MS急MSe。表6-21二因素析因设计不同模型的F检验统计量试验模型因素交互 因素A 随机型 固定型 固定型作用 因素B 随机型 固定型 随机型因素A有统计学意义无统计学意义因素B有统计学意义无统计学意义F =竺MSMS F =AMSMSF = -MSMSMSMSF a-F a-F = 4MSMSMSWWAB广 MSMSMSF B-F BF BMSMSMSABeeMSMSMSF BF BF BMSMSMSWWeABABe第五节多个方差齐性检验1. 建立假设检验H0： Q2 =b2 = . = b2 （k个总体方差相等）H1： k个总体方差不全相等2. 可通过Bartlett法作推断。其检验统计量计算公式如下:x 2 =QJQ2（6-26）Q = E（n - 1）ln（52 /52）（6-27）i=1Q = 1 + 一1一（寸 _）-（6-28）23（k -1）n -1 N - k52 =E（n -1）/（N-k） = MS（6-29）i在上述的各式中，5；是被比较的各组的方差，5；是合并方差，气是各组的样本容量（各气不必相等），k是参加比较的组数。在H0： *2 =气=b2成立时（6-26）式的x2服从自由度为V = k - 1的X 2分布。例 6. 10