刚体转动及角动量守恒推荐课件

2021/8/221刚体转动及角动量守恒2021/8/222刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平 动 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。定轴转动 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动 复杂的运动与平动的混合。2021/8/223定轴转动参量刚体转轴1.角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2.角位移3.角速度常量静止匀角速变角速4.角加速度变角加速常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 2021/8/224转动方程求导例题单位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动2021/8/225积分求转动方程任意时刻的恒量且 t=0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程2021/8/226线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线量与角量角量的基本关系2021/8/227公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动2021/8/228刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F =m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量2021/8/229合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M =r F111力矩切向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM =r F222M =r F sin j j222大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM =r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切向方向2021/8/2210转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=2021/8/2211转动惯量某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n 分量均通过转轴，不产生转动力矩。t t其切向投影式为ij jFisin+if sinq qit t=ai=rib bt tnFiOrifiij jq qi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以 ri 并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinq qiiFij jsinri合外力矩 Mb bri得Mb bri=Mb bri=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示称为 转动惯量转动惯量I刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度 的大小与刚体受到的 合外力矩 的大小成正比，与刚体的转动惯量 成反比。2021/8/2212转动惯量的计算Mb b=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量 是刚体转动惯性的量度II 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I 为体积元 处的密度II的单位为2021/8/2213分立质点的算例可视为分立质点结构的刚体转轴 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.752021/8/2214直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新轴新轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端2021/8/2215圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元2021/8/2216球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中2021/8/2217常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m R123I=m L1转轴通过端点与棒垂直2021/8/2218其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I=(a +b )22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I=m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I=2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I=(R1 +R2 )22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI=R +22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I=2m R32021/8/2219转动定律例题一合外力矩 应由各分力矩进行合成。合外力矩 与合角加速度 方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。与时刻对应，何时何时则何时 ，则何时恒定恒定。匀直细杆一端为轴水平静止释放2021/8/2220转动定律例题二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g=m1am2 g T2=m2a(T2 T1)R=Ib b a=Rb bI=m R 22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g a)m1 gm2 g如果考虑有转动摩擦力矩 Mr,则 转动式为(T2 T1)R Mr=Ib b再联立求解。2021/8/2221转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度 b b细绳线加速度 a（A）（B）2021/8/2222转动定律例题四Rm1m2mm=5kgm2=1kg m1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2b baa对对m1m2m分别应用分别应用和和质点运动和刚体转动定律质点运动和刚体转动定律m1 g T1=m1aT2 m2 g=m2a(T1 T2)R=Ib b及 a=Rb bI=mR221得b b =(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程2021/8/2223转动定律例题五q qq q 从等倾角 处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比213q q1q q1321根据短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关2021/8/2224转动动能刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得2021/8/2225力矩的功力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率2021/8/2226力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩 是各微环带摩擦元力矩 的积分环带面积环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功得粗 糙 水 平 面转轴平放一圆盘2021/8/2227刚体的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为2021/8/2228动能定理例题一匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴圆盘下摆 时质点 的角速度、切向、法向加速度的大小对系统外力矩的功系统转动动能增量其中得由转动定律得则2021/8/2229动能定理例题二外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴2021/8/2230动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放2021/8/2231含平动的转动问题机械外力非保守内力矩力力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）右例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势2021/8/2232刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体2021/8/2233刚体的角动量定理合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）2021/8/2234刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统：轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量由得同向而解得例如例如静止释放求角加速度2021/8/2235主要公式归纳（微分形式）（积分形式）是矢量式与质点平动对比2021/8/2236刚体的角动量守恒定律由刚体所受合外力矩若则即 当刚体所受的合外力矩 等于零时，刚体的角动量 保持不变。2021/8/2237角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小2021/8/2238花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小2021/8/2239守恒例题一A、B两轮共轴A以w wA A作惯性转动 以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量末态角动量得两轮啮合后一起作惯性转动的角速度w wABAB2021/8/2240守恒例题二以弹、棒为系统击入阶段子弹击入木棒瞬间，系统在铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之末弹棒弹棒弹嵌于棒子弹上摆最大转角木棒上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重力）的功外上摆末动能上摆初动能其中联立解得2021/8/2241守恒例题三 满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放静悬弹碰忽略摩擦联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得其中 球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量球棒球棒弹碰阶段弹碰过程能量守恒