江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分S1I1While I7 SS3 II2End WhilePrint S1设复数满足（为虚数单位），则复数 2已知集合，则共有 个子集3根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 4在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 5在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为xyy0 -y0 O（第7题），则双曲线的方程为 6函数的定义域为 7若函数的部分图象如图所示，则的值为 8现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 9在三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 10设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 11已知数列中，若是等比数列，则 12已知，若，则的最小值为 13在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 14已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分15已知向量，函数（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值16如图，在四棱锥中，底面为梯形， 交于，锐角所在平面底面，点在侧棱上，且(第16题图)O （1）求证：平面； （2）求证：17如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形其中为圆的直径，,在圆上， ,在上，且, （1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式；（第17题） （2）多边形面积的最大值 18在平面直角坐标系xOy中，已知分别为椭圆（）的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且（第18题）xyBMOF2F1A若，求直线的斜率19已知函数，其中，e是自然对数的底数（1）若，求函数的单调增区间；（2）若函数为上的单调增函数，求的值；（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：20已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为 （1）若数列通项公式为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）设，数列的各项均为正数，且问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由2018年高考模拟试卷（4）数学(附加题)21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB为O的直径，D为O上一点，过D作O的切线交AB的延长线于点C若DA = DC， 求证：AB = 2BC B选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量（1）求矩阵的另一个特征值；（2）求矩阵的逆矩阵C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求直线被曲线所截得的弦长D选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答22（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望23（本小题满分10分）在各项均不相同的数列，中，任取,且项变动位置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为（1）求的值；（2）求的值；（3）设，求证：2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学一、填空题：1【解析】2【解析】由条件得，所以的子集有个3【解析】由题意可知4150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为5【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为6【解析】由已知得，所以74【解析】由图知函数的周期为，所以8【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为9【解析】因为，所以10【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以113049 【解析】，所以，所以12【解析】因为，所以令， 则，所以，当且仅当时取等号所以的最小值为13【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为14 【解析】，题意即为在上恒成立，即由于，且，则当时，恒成立，符合；当时，所以在上单调递增，不符合；当时，所以在上单调递减，此时，即令（），不等式即为，由于，所以在上单调递增，而当时，所以恒成立综上所述，的取值范围是15解：（1）， 2分， 4分所以函数的最小正周期为 6分（2），且， 8分 ， 10分， 12分， 14分(第16题图)16证明：（1）如图，连接， 因为，所， 2分又，所以， 4分又平面， 平面，所以平面. 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面， 8分又平面，所以， 10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面， 12分又平面，所以 14分17解：连接， 2分（1）在中， 4分， 8分（2）令，则，且， 10分， 12分当，即时，即多边形面积的最大值为平方米 14分18解：（1）因为椭圆经过点和点，所以 2分解得， 所以椭圆的方程为 6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为由方程组 消去，整理得，解得或，所以点坐标为 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为 10分所以，若，则 14分解得，所以，即直线的斜率 16分解法二：由（1）可得，设（），则 ， 8分直线， 由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为 10分所以，若，则，所以 ， 12分由可得，即，所以或(舍)，所以，即直线的斜率 16分19解：（1）当a=0时，令，得，所以的单调增区间为 3分（2），因为函数为上的单调增函数，所以0在上恒成立 5分当时，0显然成立；当时，恒成立，则恒成立，此时； 当时，恒成立，则恒成立，此时综上， 8分（3）不妨设，当时，函数在上单调递减，在上单调递增因为，所以， 10分在上单调递减，所以要证，即证，即证，又因为，所以即证（*）12分记，所以在上恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以，即，（*）式得证所以，命题成立 16分20解:（1）因为，所以， 2分所以，所以，即 4分（2）设的公差为，因为，所以（*），特别的当时，即， 6分由（*）得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得， 又，所以， 8分于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是 10分（3）由得，所以，即，所以，从而有， 又，所以，即，又，所以有，所以， 12分假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为(为常数)，则存在，使得，即， 14分设， 则，即，于是当时，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列 16分数学（附加题）21A证明：连接OD 因为DC为切线且点D为切点，所以 因为OA=OD 所以 又因为AD=DC 所以 故 所以BC=OD=R 从而AB=2BC 10分B解：（1）由条件得，解得 2分因为矩阵，所以特征多项式为， 4分令，解得所以矩阵的另一个特征值为 5分（2）因为， 7分 所以 10分C解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即， 2分曲线表示的是圆心，半径为的圆 4分直线的参数方程为参数化为普通方程为， 6分圆心到直线的距离为， 8分直线被曲线所截得的弦长为 10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D证明：由柯西不等式可知 所以 ，当且仅当时取等号 10分22解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为3分（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2 4分； 6分所以随机变量X的分布列为X012P 8分数学期望 10分23解：（1） 2分（2） 4分（3）证明：， ， 10分- 16 -