4非连续变形分析方法讲稿

非连续变形分析(DDA)方法1 DDA方法的提出模拟介质不连续缝的历史可追溯到 30 年前的Goodman、Taylor和Brekke等教授 发展的节理单元。对岩土裂缝的数值计算 发展很快，并己在岩石工程中得到广泛应 用。Cundall介绍的离散元法现在被广泛应用于节理或块状岩石。两者是用虚拟力来 调整滑动和阻止块体重叠的一种方法，有 时候可达到稳定。20世纪80年代中期，在完全的运动理 论和能量极小化的基础上，美籍华人石根 华博士和Goodman提出并发展了一个计算 块体系统的应变与位移的新方法一一非连 续变形分析方法（DiscontinuousDeformation Analysis）。这种方法是以研究 非连续块体系统不连续位移和变形为目的 的一种数值方法，它将块体理论与岩土体 的应力、应变分析相结合，在假定的位移 模式下，由弹性理论位移变分法建立总体 平衡方程式，通过施加或去掉块体界面刚 性弹簧，使得块体单元界面之间不存在嵌 入和张拉现象，应用最小势能原理使整个 系统能量最小化，从而保证在静力和动力 荷载下包含离散和不连续块体的地质系统 大位移破坏分析得到唯一解。该方法具有离散元法的大多数特点，特别 适合于非连续体的位移模拟。非连续变形分析严格遵循经典力学规则， 它可用来分析块体系统的力和位移的相互 作用，对各块体允许有位移、变形和应变; 对整个块体系统，允许滑动和块体界面间 张开或闭合。如果知道每个块体的几何形 状、荷载及材料特性常数，以及块体接触 的摩擦角、粘着力和阻尼特征。DDA即可计算应力、应变、滑动、块体接 触力和块体位移。DDA方法自提出以后，由于这一数值 模拟方法所得结果非常接近实际，能够很好地模拟块体间的滑动、张开和闭合，已 日益广泛地应用于滑坡、隧洞坍塌等许多 工程领域。2 DDA法的基本原理2.1 DDA方法中块体的位移模式在DDA方法中，块体系统的大位移和 大变形是通过分步迭代计算的小位移和小 变形累加来实现的。由于每一步都是小位 移，因此可以设每一块体在每一步过程中 具有常应力和常应变，块体任一点（x,y）的位 移（u, v）可用6个位移不变量来表示，即 （u0,v0,r0尹，一,），其中，（u0,v0）是块体内特 x y殊点（如块体的重心）（x0,y0）的刚体位移；r0 是块体绕转动中心（x0y0）的转动角（以rad为8 , 是块体的法向应变和切向应变。考虑块体平移（U , %）、转动（r 0）、正应 变（8 ,8 ）和剪应变（）变形的情况下，取块 体系统的全一阶位移模式，块体内任一点 的位移可写为:=t Im （2-1）其中i表示系统中的第i个块体，且有& =i1 0 - (y - y ) (x - x )0.匕002x - xD = u ,v , r ,8由此则可推导出:xy1 0 - (y - y 0)0 1(x - x )0(x - x )00(y - y 0)u0vr088 x/ y J(2-2)01(x - X0)0(y -七)可以证明上述位移函数是块体变形的全 一阶近似。2.2联立方程组的建立和求解块体系统的总势能包括块体单元的应变 能、初始应力的势能、点荷裁和线荷载作 用下的势能、体荷载势能、锚杆连接的势 能、惯性力势能和粘性力势能等。由最小势能原理，在势能泛函取最小值时 系统达到平衡。块体系统的总势能可写成一般形式：1U = DIK d -d I F(2-3)2非连续变形分析的平衡方程式由总势能 最小化原理来建立，即由各种力和应力产 生的总势能U = min来推导，则得到平衡方程式为：d U / dd = 0(2-4)式中，i代表第 i个块体；d是块体i的位 移变量；r = 1、2、3、4、5、6，对应于上 述6个位移不变量。方程式a U /淑=0 M U /加=。分别代表作 用于块体x、y方向上所有荷载和接触力平 衡。方程式aU/ * = 0代表作用于块体i上 的所有荷载和接触力的力矩平衡。方程式au/a = 0, au/a = 0, au/a = 0代表 沿x、y方向块体i上的所有外力和应力的 平衡。式(2-4)的系数由下列微分求得：(r,s=1,2,3,4,5,6)5 2U = 0 ad ad(2-5)上式中，当i=j时则为块体i的系数元素，由块体i的材料特性和相关块体的相 互作用决定，构成6x6阶对称阵。当i壬j时， 则为块体系统中块体i的相关联元素，即由 块体i和块体j之间的接触所决定，也构成 6x 6阶阵。把块体系统中所有自身的系数 子阵和块体间的相关联子阵叠加，则构成 总体平衡方程式为：K11K1K12K22K13K23.K1nK：nDD2:-F 万1 FKL n1Kn2Kn3KKnnD , n:F n(2-6)简化为式中，每个系数元素：都是6x6阶子矩阵； D、F是6xl阶子矩阵，其中D代表块体i 的变形变量(d ,d ,d ,d ,d ,d ) ； ； F是块体i 上分配给6个变形变量的荷载，它可由下 式求出，一七(0) = 0Odr=1,2,3,4,5,6ri引人边界条件和块体系统的运动学条件， 即可对上述方程求解，得到每一个块体的 位移与变形状态。2.3 DDA方法中的几个问题探讨2.3.1 DDA进行块体系统数值模拟的步骤与有限元相同，DDA也属于位移法，最 后得到的平衡方程与有限元法的平衡方程 在形式上完全相同，便于计算机的编程求 解.用DDA进行块体系统数值模拟的步骤 如下：(1) 块体边界的生成；(2) 以块体为单元形成单元刚度矩阵和载 荷列阵；(3) 根据块体的约束条件和接触关系，建立整个块体系统的总刚度矩阵和载荷列 阵；(4)求解方程KD F，求得D,即每 个块体单元的位移分量；(5)根据位移分量求得块体系统的内 力分布。DDA方法既可处理静力学问题也 可处理动力学问题，而且能模拟块体系统 发生的大变形、大位移力学行为。3 DDA方法与其它数值方法的比较IS3.1 DDA法与有限单元法的比较DDA是与有限单元方法相平行的一种 数值分析方法。它解算的网格与有限单元 类型相似，但所有单元是被事先存在的不 连续缝所包围的实际隔离块体，这是非连续变形分析显著超过有限元分析的优点。在有限单元法的情况下，未知数是所 有节点的自由度之和；在DDA法的情况下， 未知数是所有块体的自由度之和。从理论 观点看，DDA是有限单元法的广义化。3.2 DDA与DEM的比较DEM与DDA同属代表性的非连续体数值解析法，因此，在理论上有加以比较以显 示有关差异的必要。事实上，DEM与DDA 所解算的均为下列块体运动方程式：M (A + k (D = F(3-1)式中：M为质量矩阵，K 面为刚性矩阵， A为加速度向量，D为位移向量，F 为 力向量。DEM与DDA二者之间最大的不同在 于DEM在求解的过程中，无需构筑总体方 程组，直接求解，属数值解析上的显式解 法。DDA则需通过形成总体方程组来求 解，数值计算上属隐式解法，因此，与有 限单元法一样保证具有唯一解，解易收敛， 进行计算时可代入较大的时间步长，并且 各参数具有较明显的物理意义，适用于岩体边坡破坏的大变形分析。