多元函数的极值与拉格朗日乘数法（谷风课资）

1/29多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法小结小结 思考题思考题 第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用一类课资2/29一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放一类课资3/29 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值；若 满 足 不 等 式有 极 大 值；若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.一类课资4/29(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 一类课资5/29定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意),(yx),(00yx都都有有),(yxf),(00yxf,证证一类课资6/29故故当当0yy ，0 xx 时时，有有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.一类课资7/29例如例如,点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点(具有偏导数具有偏导数的函数的极值点）的函数的极值点）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，注意：注意：一类课资8/29又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论一类课资9/29例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1,1(P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解一类课资10/29,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故)2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1,1(P代代入入原原方方程程,有有6,221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1,1(fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1,1(fz为极大值为极大值.一类课资11/29求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.一类课资12/29求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有可能极值点处的函数内的所有可能极值点处的函数值及在值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值一类课资13/29例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,一类课资14/29解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值，在边界在边界0 x和和0 y上上0),(yxf,一类课资15/29在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.xyo6 yxD一类课资16/29例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值.,0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21(,解解 由由一类课资17/29即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.因为因为01lim22 yxyxyx一类课资18/29对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值.其他条件其他条件.无条件极值无条件极值对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外,并无并无条件极值条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一类课资19/29解解yxz 18xyzV ：区域区域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例例5已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为,zyx、由题意由题意长方体的体积为长方体的体积为18,0,0 yxyx)6,6(驻驻点点 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,体体积最大体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6时长方时长方由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,18,xyz一类课资20/29上例的极值问题也可以看成是求三元函数上例的极值问题也可以看成是求三元函数zyx、但但的极值的极值,要受到条件要受到条件的限制的限制,这便是一个条件极值这便是一个条件极值问题问题.目标函数目标函数约束条件约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时有时条件极值条件极值目标函数中化为目标函数中化为无条件极值无条件极值.可通过将约束条件代入可通过将约束条件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的.下面要介绍解决下面要介绍解决条件极值条件极值问题的一般问题的一般方法方法:下下,这样做是有困难的这样做是有困难的,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法Vxyz18xyz 一类课资21/29一类课资22/29一类课资23/29例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为一类课资24/29例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ，202|byFPy ，202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为一类课资25/29 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,一类课资26/29在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu 由由,010,0,0220220220000 cybyaxGGGzyx一类课资27/29当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min.01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 一类课资28/29多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结一类课资29/29思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值，则极值，则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2),0(yyf 在在)0,0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0,(xxf 在在)0,0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0,0(不取极值不取极值.一类课资30/29多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二元函数二元函数),(yxf在点在点),(000yxP处有极值处有极值(不妨设为极小值不妨设为极小值),是指存在是指存在),(0 PU当点当点),(),(0 PUyxP 且且),(yxP沿任何曲线趋向于沿任何曲线趋向于,0时时P).,(),(00yxfyxf 一元函数一元函数),(0yxf在点在点 x0处取得有极小值处取得有极小值,表示动点表示动点),(),(0 PUyxP 且且),(yxP沿直线沿直线一类课资31/29多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法,0上上yy 并沿该直线并沿该直线(即沿平行于即沿平行于Ox轴的正负轴的正负方向方向)趋向于趋向于,),(000时时yxP它们的关系是它们的关系是:),(yxf在点在点),(00yx取得极大取得极大(小小)值值点点点和点和分别在分别在和和0000),(),(xyyxfyxf取得极大取得极大(小小)值值.).,(),(00yxfyxf 一类课资32/29作业作业习题习题9-89-8(118(118页页)2.5.7.10.多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法一类课资33/29一、一、填空题填空题:1 1、函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点,使使 它它 到到0,0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小.三三、求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体.练练 习习 题题一类课资34/29四、四、在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1222 zyx的切平面的切平面,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求求切点的坐标切点的坐标.一类课资35/29一一、1 1、(3 3,2 2),大大,3 36 6；2 2、大大,41；3 3、7 7,-1 1.二二、)516,58(.三三、当当长长,宽宽,高高都都是是32a时时,可可得得最最大大的的体体积积.四四、).31,31,31(练习题答案练习题答案一类课资36/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资37/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资38/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资39/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资40/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资41/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资42/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资43/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资44/29的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值一类课资