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第八章 参数估计,8.1 估计量的优劣标准 8.2 获得估计量的方法点估计 8.3 区间估计,研究参数估计，要解决两个方面的问题： 1.怎样估计参数，即用什么样的办法对参数进行估计； 2.对估计出的参数值用什么标准衡量其优劣程度。,参数估计的概念,定义 设总体X的分布函数F(x; )的形式为已知, 。其中为未知参数, 为参数空间, X1， ， Xn是总体X的一个样本，若统计量 f(X1， ， Xn)可作为的一个估计,则称其为的 一个估计量，记为,注：X的分布函数F(x;)也可用分布律或密度函数代替.,若x1， ， xn是样本的一个观测值。,在不致混淆的情况下统称估计量与估计值为估计,8.1 估计量的优劣标准,（一） 一致估计,定义8.1,一致性是对于极限性质而言的，它只在样本容量较大时才起作用。,（二）无偏估计,例1 从总体中 取一样本（ X1, ,Xn ），E = , D = 2 , 试证样本平均数,分别是及2的无偏估计。,证,样本均值X是的无偏估计。,怎样证明？,S2是2的无偏估计,如果从总体中随机取出两个相互独立的样本（ X11 , ,X1n1 ）及（X21 , ,X2n2），则可以证明,分别是总体中和2的无偏估计量。其中，,对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而且无偏性仅仅表明所有可能取的值按概率平均等于，可能它取的值大部分与相差很大。为保证的取值能集中与附近，自然要求的方差越小越好。,（三）有效估计,由定义可知，一个无偏估计量取的值是在可能范围内最密集与未知参数的真值 附近摆动。,定义8.3 设和都是的无偏估计，若样本容量为 n, 的方差小于的方差，则称是比有效的估计量。如果在的一切无偏估计量中, 的方差达到最小，则称为的有效估计量。,实际上，样本平均数X是总体期望值的有效估计量。,例2 比较总体期望值的两个无偏估计的有效性。,解：,利用不等式,8.2 获得估计量的方法点估计,点估计就是以样本的某一函数值作为 总体中未知参数的估计值的一种估计方法,若x1， ， xn是样本的一个观测值。,由于f (x1， ， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计， 故称这种估计为点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。,(一）矩估计法（简称“矩法”）,关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即,2.约定：若 是未知参数的矩估计，则f()的矩估计为f( ),矩法是求估计量的最古老的方法。 具体的做法是：以样本矩作为相应的总体矩的估计， 以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。 常用的是用样本平均数 估计总体期望值 。,例1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时）问该天生产的灯泡平均寿命是多少？,矩法比较直观，求估计量有时也比较直接，但它产生的估计量往往不够理想。,解 计算出X1147，以此作为总体期望值的估计。,（二）最大似然估计法,1、最大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.2,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？,一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是最大似然思想,最大似然法是要选取这样的，当它作为 的估计值时，使观察结果出现的可能性最大。,设为连续性随机变量，它的分布函数是F(x;),概率密度是 其中是未知参数，可以是一个值，也可以是一个向量。由于样本的独立性，则样本,对于连续型的随机变量就是估计概率密度中的。,对于离散型的随机变量就是估计概率函数中的参数；,的联合概率密度是,对每一个取定的样本值 是常数，L是参数 的函数，称L为样本的似然函数（如果 是一个向量，则L 是多元函数）。,设为离散型随机变量，有概率函数 则似然函数,定义8.4 如果 在 处达到最大值，则称是 的最大似然估计。,式子右边的表示函数关系。问题是如何把的最大似然估计求出来，由于 L与L同时达到最大值，故只需求 L的最大值点即可。,与样本有关，它是样本的函数，即,如果是一个向量，即,一般情况下， L在最大值点 的一阶偏导数等于0，即 是上面方程组的解。要求最大似然估计，首先要解这个似然方程组。,考虑方程组：,1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为,现有样本观察值x1,x2,xn,其中xi取值于xi, i=1,2 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,例5.设X1， ， Xn为取自参数为的泊松分布总体的样本，求的极大似然估计,2.设总体X为连续型随机变量，概率密度(x; ) 现有样本观察值x1,x2,，xn, 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,2、似然函数与极大似然估计,为该总体的似然函数。,定义：若有,使得,则称 为的极大似然估计.记为,3、求极大似然估计的步骤,(1) 做似然函数,(2) 做对数似然函数,(3) 求导数，列似然方程,若该方程有解，则其解就是的最大似然估计。,(4) 解似然方程,注1：若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组,例6：设X1， ， Xn为取自 N(,2 ) 总体的样本，求参数 ,2 的极大似然估计。,注2：极大似然估计具有下述性质： 若 是未知参数的极大似然估计， g()是的严格单调函数，则g()的矩极大似然估计为g( ),例7：设X1， ， Xn为取自参数为的指数分布 总体的样本，a0为一给定实数。 求p=PXa的极大似然估计,注3：由似然方程解不出的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上 满足,例8：设X1， ， Xn为取自 U(0,) 总体的样本， 0未知，求参数 的极大似然估计。,例2 已知,为 的一组样本观察值，求的最大似然估计。,解 似然函数,解似然方程,x 就是 的最大似然估计。,例3 某电子管的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布（概率密度见例2），今抽取一组样本，其具体数据如下；问如何估计 ？,解 根据例2的结果，参数用样本平均数估计,为的估计值。,为的一组样本观察值，用最大似然估计法估计 的值。,解,例4 已知服从正态分布,解似然方程组,解似然方程组,EX,P164 2、3、4 7、8、11、15、16、19,8.3 区间估计 P157 一、概念,定义： 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1),若由样本X1, , Xn确定的两个统计量 使,则称随机区间 为的置信度为1的置信区间,注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。,估计未知参数所在的范围 的方法称为区间估计,单正态总体参数的区间估计,1、2已知，估计,/2,/2,1-,可取,(1-),1-,的置信度为1的置信区间为,注：的1置信区间不唯一。,都是的1置信区间.但可以证明=1/2时区间长最短.,(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知； (2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1，要求区间按几何对称或概率对称； (3)解不等式得随机的置信区间； (4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。,求正态总体参数置信区间的解题步骤：,例2 若灯泡寿命服从正态分布N( ,8),从中抽取了10个进行寿命实验，得数据如下（单位：小时）试估计平均寿命所在范围（a=0.05）.,解：已知总体方差2，估计总体期望,对于给定的，查表确定,解：已知总体方差2，估计总体期望,对于给定的0.05，查表确定,根据样本值计算,的置信度为1- 0.95的置信区间是 （1145.25，1148.75）,例3 已知某炼铁厂的铁水中含碳量在正常情况下服从 正态分布，其方差2 = 0.1082 .现在测定了9炉铁水，其 平均含碳量为4.484.按此资料计算该厂铁水平均含碳量 的置信区间，并要求有95% 的可靠性。,解：已知总体方差2，估计总体期望,对于给定的置信系数1-0.95，查表确定,根据样本值计算,的置信系数为1- 0.95的置信区间是（4.413，4.555）,2、总体方差2未知，估计期望,m的1-a置信区间为,1-,即得,/2,/2,例4 假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名婴儿，测其体重为3100，2520，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试以0.95的置信系数估计新生婴儿的平均体重（单位：g）,解: 方差 2未知，估计 的置信区间,对于给定的，查表确定,的置信度为0.95置信区间是,根据样本值计算：,对于给定的置信系数1-0.95，查表确定,3、单正态总体方差的置信区间,假定m未知，估计2,s2的置信度为1的置信区间为,例5 根据例4测的数据对新生男婴儿体重的方差进行区间估计（=0.05）.,解: 未知，估计方差 2的置信区间,对于给定的0.05，查表确定,则s2的置信度为1的置信区间为（70752，405620）,4、双正态总体均值差的置信区间,可解得1- 2 的置信区间,5、双正态总体方差比的置信区间,假定1，2未知,一、点估计：,1.矩法估计 2.最大似然估计,二、区间估计,1.已知总体方差2 ，估计期望,2.未知总体方差2 ，估计期望,3.未知总体期望，估计方差2,4、双正态总体均值差的置信区间,5、双正态总体方差比的置信区间,总结：,小结,
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