《最短路径问题》的反思及应用

最短路径问题的反思及应用我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上 例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学 生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。有这样一个问题：如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河 边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?分析我们把河边近似看做一条直线l （如图2），P为直线l上的一个动点，那么，上 面的问题可以转化为：当点P在直线l的什么位置时，AP与PB的和最小。如图3所示，作点B关于直线l的对称点B，连接AB，交直线l于点P，则点P就 是牧马人到河边饮马的位置。事实上，点B与点A的线段AB最短，由对称性质知， PB二PB，因为PA + PB二PA + PB二AB，即点P到点A、B的距离之和最小。上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之 间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条 线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想 对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃 而解。一、基本应用如图4,点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O 重合，若BC二3，则折痕CE的长为多少？分析 沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，则点B、点O关于直线CE对称,CO = CB = 3，=*ZACB点O是矩形ABCD的中心,知AC = 2CO = 6。所以 Z2 = - ZACB = 30。，又在 Rt/CBE 中，ZBCE 二 30。，BC 二 3，若设 BE 二 x,则 2CE 二 2x，得（2x）2 -x2 二32，xi，T 口 （舍去），所以CE二2x二2肓。二、拓展应用如图5两条公路BA、BC相交于点B，在两条公路之间的P点有一个油库，若要在公 路BA、BC上各设置一个加油站Q和R ,设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油 站Q （或R ）,再到另一个加油站R （或Q ）,最后回到油库所走的路程最短，即 PQ + QR + RP 最小。分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到P关于BA、BC的对称点P、P，连接PP,由对称性易知：PQ二PQ , PR二PR , 此时 PQ + QR + RP 二 PQ + RQ + PR，欲使 PQ + QR + RP 最小，应在 PP,上取 Q、 R点为PP分别与AB、CB的交点，此时PQR的周长最小。三、灵活运用如图6, 只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A爬到桶内点B去寻找食物，已知点A到桶口 的距离AC为12cm,点B到桶口的距离BD为8cm, CD弧长为15cm,若蚂蚁爬行的是最 短路线，应该怎样走?BEC1DBAA图？分析 将圆柱侧面展开得如图 7，这样所求问题可化为在 CD 上求一点 P ，使得 PA + PB最小，因此，作点B关于CD的对称点B,连接AB,交CD于点P ,线段AB 就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP到PB的路线走最短。过B作BE丄AC交AC的 延长线于E，则AE二20cm , BE二15cm，根据勾股定理得AB二25。故蚂蚁爬行的最 短路线为25cm。本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”， 把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。