管理学概率论与数理统计 第四章课件

数学期望及其性质数学期望及其性质 方差及其性质方差及其性质 协方差与相关系数协方差与相关系数 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 常见的重要分布的数字特征常见的重要分布的数字特征 分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求 分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。的数值，故称它们为随机变量的数字特征。本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。都可以由它来定义。引言1 1、数学期望、数学期望II IIII 枪手每次射击的得分枪手每次射击的得分X是一是一个随机变量，其分布律为个随机变量，其分布律为X012kp1p2p0p 现射击现射击N次次,其中得其中得0分的有分的有 次次,得得1分的有分的有 次次,得得2分的有分的有 次次,于是于是,射击射击N次次的总分为的总分为0a1a2a.210Naaa.210210aaa从而从而,每次射击的平均分为每次射击的平均分为.21020210kkNakNaaa 在第五章在第五章大数定律大数定律中可证明中可证明:当当N无限增大时无限增大时,频率频率 接近于概率接近于概率 ,故当故当N很大时很大时,NakkXPpk.2020kkkkpkNak这表明这表明:随着试验次数增大随着试验次数增大,随机变量随机变量X的观察值的算的观察值的算术平均术平均 接近于接近于20kkNak,20kkpk称后者为随机变量称后者为随机变量X的数学期望的数学期望(均值均值).随机变量随机变量X X的的记为记为E(X),E(X),定义为定义为连续型离散型,)(,)(1dxxxfpxXEkkk)(,xfpk(1)(8.18.022.0100)(1分XE)(5.01.023.016.00)(2分XE)()(21XEXE8.02.002101kpX1.03.06.02102kpX.,0,30001500),3000(,15000,)(221500115001其它xxxxxf 解这是解这是连续型连续型随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：dxxxfXE)()(dxx15000150022dxxx300015001500)3000(2|)150(|30001500233115000331150012xxx)(1500 分分段函分段函数的积数的积分分 定理定理1 1 设设Y=g(X)Y=g(X)是随机变量是随机变量X X的连续函数，则的连续函数，则Y Y 也是随机变量，且其数学期望为也是随机变量，且其数学期望为连续型离散型,)()(,)()()(1dxxfxgpxgXgEYEkkk(2)利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理:其中无穷级数或广义积分均其中无穷级数或广义积分均，分分 别为离散型随机变量别为离散型随机变量 的分布律或连续型随机变量的分布律或连续型随机变量的概率密度。的概率密度。)(,xfpk其中无穷级数或广义积分均绝对收敛其中无穷级数或广义积分均绝对收敛,分分 别为离散型随机变量别为离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律和连续型随机的分布律和连续型随机 变量变量(X,Y)(X,Y)的概率密度。的概率密度。),(,yxfpij Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是随机变量是随机变量(X,Y)(X,Y)的连续函数，的连续函数，则则Z Z也是随机变量，且其数学期望为也是随机变量，且其数学期望为 连续型离散型,),(),(,),(),()(11dxdyyxfyxgpyxgYXgEZEiijjij(3)()(),cov(YEYXEXEYX【例【例3 3】P.115:eg6P.115:eg6 解设解设X为随机取一球的标号为随机取一球的标号,则则r.v.X等可等可 能地取值能地取值1,2,3,4,5,6;又又Y=g(X),且且 g(1)=g(2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.故随机摸一球得分的期望为故随机摸一球得分的期望为61)()()(kkXPkgXgEYE2615612612611611611.0,0,0,)(441xxexfx.10,200,1,100)(XXXadxxfxaXaE)()()(dxedxexx141104144100)200(110|100|20044xxee4141100)1(200ee.64.3320030041eD 1 解这是二维解这是二维连续型连续型随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。联合概率密度函数非零区域为联合概率密度函数非零区域为xy xyox0f dxdyyxxfXE),()(.10,0:xxyD故由定理故由定理2得得:dxdyyxD212dyyxdxx100212dxxdxyxx10401034|312.54|54105xxdxdyyxydxdyyxxyfXYED212),()(.213|31210501041003dxxdxyxdyyxdxxx例5-续 在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需需 要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域D D上非上非 零时，实际上是计算普通二重积分零时，实际上是计算普通二重积分.数学期望具有如下性质数学期望具有如下性质:设设X,YX,Y为随机变量为随机变量,c为为常数常数,则则 E(c)=c;E(cX)=cE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y);当当X,Y相互独立时相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);【证】由随机变量及其函数的数学期望知【证】由随机变量及其函数的数学期望知:此时此时,为退化分布为退化分布:PX=C=1,故由定义得故由定义得:E(c)=E(X)=cPX=c=c.由定义得由定义得:)(,)(,)(1XcEdxxcxfpcxcXEkkk连续型离散型现就连续型证下面两条：现就连续型证下面两条：设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率密的概率密度、边缘概率密度分别为度分别为).(),(),(yfxfyxfYX 由随机变量函数的期望得由随机变量函数的期望得:dxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxfydxdyyxfx),(),().()(YEXE 由由X,Y相互独立得相互独立得:),()(),(yfxfyxfYXdxdyyxfxyXYE),()()()(dyyfydxxxfYX).()(YEXE 利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推 出其它数字特征的一些性质出其它数字特征的一些性质.解解方法方法1(表格法表格法)由由X的分布列得的分布列得:X-202P0.40.30.3X204Pk0.30.73X2+5517Pk0.30.7E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;于是于是,E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续 E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续)()(2XEXEXD)()(XDX22)()()(XEXEXD(6)2)()(XEXXg 显然显然,方差方差D(X)D(X)就是就是随机变量随机变量X X的函数的函数的数学期望的数学期望.因此因此,当当X X的分布律的分布律 或概率密度或概率密度 已知时已知时,有有)(xfkp连续型离散型,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk(5)【例【例8 8】P.122:eg3P.122:eg3解解1)1(kppkXP),3,2,1(k1)(kkXkPXE11)1(kkpkppxxp1|)11(pxkkxp10|)(pxxp12|)1(121pp;1p又又122)(kkXPkXE112)1(kkpkp11)1()1(kkpkkkp2112)1()1)(1()1(kkkkpkppkkpp 01)(|)(kpxkXExppxppx1|)11(1 pxppx1|)1(213;1)1(22ppp故故22)()()(XEXEXD.12pp【例【例9 9】其它，,0;10,1;01,1)(xxxxxfdxxxfXE)()(1001)1()1(dxxxdxxx10201211dxxdxxxdx;0 方差具有如下性质方差具有如下性质:设设X,YX,Y为随机变量为随机变量,c为常数为常数,则则 D(c)=0;D(cX)=c2D(X);D(X+c)=D(X);当当X,YX,Y相互独立时相互独立时,D(XY)=D(X)+D(Y);【证】只证只证4。D(aX+b)=a2D(X)D(X)=0的充要条件的充要条件PX=C=1,其中其中C=E(X).2)()(YEYXEXE)()()(2YXEYXEYXD)()(22YEYEXEXE)()(2YEYXEXE 由于由于X,Y相互独立相互独立,故可以证明故可以证明X-E(X),Y-E(Y)也也 相互独立。于是，由数学期望的性质得：相互独立。于是，由数学期望的性质得：)()(YEYXEXE.0)()(YEYEXEXE从而，有从而，有).()()(YDXDYXDP.87:定理定理解解X的所有可能取的值为的所有可能取的值为0,1,2,n.),(1pnBXXnii 事件事件 X=k是是 个互斥基本事件的和事件个互斥基本事件的和事件,且其中且其中每个基本事件为每个基本事件为“从从n个格子中取出个格子中取出k个放入个放入1,其余放其余放入入0”.由独立性易知由独立性易知:每个基本事件的概率为每个基本事件的概率为knC,)1(knkpp故故),1,0()1(nkppCkXPknkkn从而从而,).,(pnBXpppXii110),1(pBXi).1()(,)(ppXDpXEiiniiXEXE1)(niiXDXD1)()(1niiXD独独立立)1(1ppni).1(pnp)(1niiXE,1nppni.122XP,8889.03XP.9375.04XP 由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式形式:设设X X服从参数为服从参数为n,pn,p的二项分布的二项分布B(n,p),B(n,p),则其分布律为则其分布律为).,1,0()1(nkppCkXPknkkn在在2 2例例1010中已经求得中已经求得).1()(,)(),(pnpXDnpXEpnBX).,2,1,0(!kkekXPk0!)(kkkekXE11)!1(kkke.ee)(!0Rxnxennx022!)(kkkekXE0!)1(kkkekkk)()!2(222XEkekkee2222)()()(XEXEXD.)(22)()()(XDXEPX 设设X X服从参数为服从参数为,2 2的正态分布的正态分布N(,N(,2 2),),则则其概率密度为其概率密度为)(21)(222)(xexfx其中其中.0,R 数学期望为：数学期望为：dxxxfXE)()(dxxex222)(21dtett22)(21dttedtett22222121奇函数在对称区间奇函数在对称区间上的积分为零上的积分为零换元换元xt标准正标准正态概率态概率密度性密度性质质dxxfxXD)()()(2dxexx222)(2)(21dtett222)(21dttett222212dtdxtxtxxt:22221ttdedtetett22222|21dtet2222122)(,)(),(XDXENX,0,1)(其它bxaabxf则则X X的数学期望为的数学期望为:dxxxfXE)()(baxdxab1baxab|21122badxxfxXE)()(22dxxab21baxab|3113322baba22)()()(XEXEXD4232222babababa12)(2ab.12)()(,2)(),(2abXDbaXEbaUX21)(,1)()(XDXEeX)()(),(YEYXEXEYXCov)()(),(YDXDYXCovXY),()()()(YXCovYDXDYXD)()()(),(YEXEXYEYXCov 对称性对称性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);线性性线性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a为常数为常数),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).|XY|1;若若Y=aX+b(a,b为常数为常数,且且a0),则则.0,1,0,1aaXYX与与Y正相关正相关X与与Y负相关负相关|XY|=1的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数a,b,使使PY=aX+b=1.)()(),(YEYXEXEYXCov0)()(YEYEXEXE21 xy21 xy0f.,0,1,),(221其它yxyxf试证试证X X与与Y Y不相关不相关,但但X X与与Y Y不相互独立不相互独立.xyo11xdyyxfxfX),()(,0,11,12211其它xdyxx【例【例1】.,0,11,12)(2其它xxxfX.,0,11,12)(2其它yyyfYdxxfxXEX)()(dxxx11212奇函数在对奇函数在对称区间上积称区间上积分为零分为零 由于由于)1)()(),(22yxyfxfyxfYX利用对称性得利用对称性得:dxdyyxfxyXYE),()(dxdyyxfxyyx),(122;0)(YEdxdyxyyx12212010sincos1rdrrddrrddxdyryrxsincos20103cossin1drd;00cossin20d于是于是,X,X与与Y Y的协方差为的协方差为0)()()(),cov(YEXEXYEYX21212221)()1(21exp121),(xyxf22222121)()(2yyx);(21)(21212)(1xexfxX).(21)(22222)(2yeyfxY.)(,)(,)(,)(222211YDYEXDXEdxdyyxfyxYX),()(),cov(21)(12121221yxdxdyeexyx2112222121)1(212)(,111111222xuxyt,)1(,22211utyuxdtduutyxdxdy),(),(dtdu222110dtdu2211 uYX1221121),cov(dtdueeuttu22122221)1(22duuedtteut222212212dueudteut22222dueudteut22221222奇函数在对奇函数在对称区间上积称区间上积分为零分为零分部积分部积分分duuedteut222122212121