2022年2022年函数类型及性质

函数类型及性质1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a1，则 a 的取值范围是 _23，1 _考向一指数函数的性质1、已知函数 f(x)1ax112 x3(a0 且 a1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数 f(x)的奇偶性；(3)求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于 ax10，且 ax1，所以 x0.函数 f(x)的定义域为 x|xR，且 x0(2)对于定义域内任意x，有f(x)1ax112(x)3ax1ax12(x)311ax112(x)31ax112x3f(x)，f(x)是偶函数(3)当 a1 时，对 x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，1ax1120.又 x0 时，x30，x31ax1120，即当 x0 时，f(x)0.又由(2)知 f(x)为偶函数，即 f(x)f(x)，则当 x0 时，x0，有 f(x)f(x)0 成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -综上可知，当 a1 时，f(x)0 在定义域上恒成立当 0a1 时，f(x)ax1 x32 ax1.当 x0 时，1ax0，ax10，ax10，x30，此时 f(x)0，不满足题意；当 x0 时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求 a 的取值范围是 a1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(x)f(x)，f xf x来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法【训练 2】设 f(x)exaaex是定义在 R 上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若 f(x)是偶函数，试研究其在(0，)的单调性解(1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(x)f(x)，即exaaexexaaex，整理得 a1a(exex)0，即 a1a0，即 a210 显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即exaaexexaaex，整理得 a1a(exex)0，又对任意 xR 都成立，有 a1a0，得 a 1.当 a1 时，f(x)exex，以下讨论其单调性，任取 x1，x2(0，)且 x1x2，则 f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2ex1ex2ex1x21ex1x2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -x1，x2(0，)且 x1x2，ex1x21，ex1ex20，ex1x210，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)exaaex，当 a1 时在(0，)为增函数，同理，当 a1 时，f(x)在(0，)为减函数考向二指数函数图象的应用【例 3】?(2009山东)函数 yexexexex的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析ye2x1e2x112e2x1，当 x0 时，e2x10 且随着 x 的增大而增大，故y12e2x11 且随着 x 的增大而减小，即函数y 在(0，)上恒大于 1 且单调递减，又函数 y 是奇函数，故选 A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数 yax1ax1，yexex2，ylg(10 x1)等【训练 3】已知方程 10 x10 x，lg xx10 的实数解分别为 和 ，则 的值是 _解析作函数 yf(x)10 x，yg(x)lg x，yh(x)10 x 的图象如图所示，由于 yf(x)与 yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx 对称的又直线yh(x)与 yx 垂直，yf(x)与 yh(x)的交点 A 和 yg(x)与 yh(x)的交点 B是关于直线 yx 对称的而 yx 与 yh(x)的交点为(5,5)又方程 10 x10 x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -的解 为 A 点横坐标，同理，为 B 点横坐标 25，即 10.答案10 考向一对数式的化简与求值【例 1】?求值：(1)log89log23；(2)(lg 5)2lg 50 lg 2；(3)12lg 324943lg 8lg 245.审题视点 运用对数运算法则及换底公式解(1)原式log2332log2323.(2)原式(lg 5)2lg(105)lg 105(lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5)52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 512(lg 2lg 5)12lg 1012.法二原式 lg4 27lg 4lg(75)lg4 27 574lg1012.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化【训练 1】(1)若 2a5b10，求1a1b的值(2)若 xlog341，求 4x4x的值解(1)由已知 alog210，blog510，则1a1blg 2lg 5lg 101.(2)由已知 xlog43，则 4x4x4log434log43313103.考向二对数值的大小比较名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -【例 2】?已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，bf(log123)，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是()AcabBcbaCbcaDabc审题视点 利用函数单调性或插入中间值比较大小解析log123 log23 log49，b f(log123)f(log49)f(log49)，log47log49,0.20.6153551255322log49，又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故 f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log123)f(log47)，即 cba，故选 B.答案B 一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决【训练 2】(2010 全国)设 alog32，bln 2，c512，则()AabcBbcaCcabDcba解析法一alog321log23，bln 21log2e，而 log23log2e1，所以 ab，c51215，而52log24log23，所以 ca，综上 cab，故选 C.法二alog321log23，bln 21log2e，1log2elog232，121log231log2e1；c512151412，所以 cab，故选 C.答案C 考向三对数函数性质的应用【例 3】?已知函数 f(x)loga(2ax)，是否存在实数 a，使函数 f(x)在0,1上是关于 x 的减函数，若存在，求a 的取值范围审题视点 a0 且 a1，问题等价于在 0,1上恒有a12ax0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -解a0，且 a1，u2ax在0,1上是关于 x 的减函数又 f(x)loga(2ax)在0,1上是关于 x 的减函数，函数 ylogau 是关于 u 的增函数，且对 x0,1时，u2ax 恒为正数其充要条件是a12a0，即 1a2.a 的取值范围是(1,2)研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题复合函数的单调性的法则是“同增异减”本题的易错点为：易忽略2ax0 在0,1上恒成立，即 2a0.实质上是忽略了真数大于0 的条件【训练 3】已知 f(x)log4(4x1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在区间12，2 上的值域解(1)由 4x10 解得 x0，因此 f(x)的定义域为(0，)(2)设 0 x1x2，则 04x114x21，因此 log4(4x11)log4(4x21)，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间12，2 上递增，又 f120，f(2)log415，因此 f(x)在12，2 上的值域为 0，log415名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -