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学习必备欢迎下载牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。典例评析例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃 25天，或可供 24头牛吃 10天，那么它可供几头牛吃20天？例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供 16头牛吃 6天，那么可供10头牛吃多少天？精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃 40天，或者供 12头牛与 36只羊吃 25天，如果 1头牛每天的吃草两相当于 3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃 6天或 23头牛吃 9天。问可供 21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体 1份是多少我们不知道，也不用管它，【思考 1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃 6天，或 20头牛吃 10天，那么可供 18头牛吃几天？设1头牛 1天吃的草为 1份。则每天新生的草量是（2010-24 6）(10-6)=14 份，原来的草量是（24-14）6=60份。可供 18头牛吃 60（18-14）=15天例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃 5天，可供 24头牛吃 6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考 2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供 16头牛吃 6天。那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（205-16 6）（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）5=120 份，可供 11头牛吃 120(11+4)=8 天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。知识衍变精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。蜗牛每夜下降：（205-156）（6-5）=10分米所以井深：（20+10）5=150分米=15米例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要 10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【思考 4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机 20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（2010-15 10）(20-10)=5 份，池内原有的水是：（10-5）20=100份.所以,用25部抽水机需要:100(25-5)=5 小时思维拓展例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃 30天，可供 19头牛吃 24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃 6天，或供 23头牛吃 9天，现有一群牛吃了4天后卖掉 2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（239-276）（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量 72+158+24=200份。所以这群牛原来有2008=25头例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和 8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃 10天，第二块草地可供12头牛吃 14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？摘录条件：27头 6天原有草+6天生长草23头 9天原有草+9天生长草21头？天原有草+？天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛 1天吃的草为 1，由条件可知，前后两次青草的问题相差为 239-276=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）3天生长出来的，所以每天生长的青草为453=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的 15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量 276=162第二次吃草量 239=207每天生长草量 453=15原有草量（27-15）6=72或 162-156=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么 726=12（天）初中解答：假设原来有的草为x 份，每天长出来的草为y 份，每头牛每天吃草1份。那么可以列方程：x+6y=276x+9y=239解得 x=72,y=15 若放 21头牛，设n 天可以吃完，则：72+15n=21n n=12 例 2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续 20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要 6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台 20天原有水+20天入库量6台 15天原有水+15天入库量？台 6天原有水+6天入库量小学解答：设 1台1天抽水量为 1，第一次总量为 520=100，第二次总量为 615=90精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载每天入库量(100-90)(20-15)=2 20天入库 220=40，原有水100-40=60 60+26=72726=12（台）初中解答：假设原来有的水为x 份，每天流进来的水为y 份，每台机器抽出的水是1个单位。那么可以列方程：x+20y=205x+15y=615解得 x=60,y=2 若要 6天抽完，设n 台机器可以抽完，则：60+62=6 nn=12 巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10 头牛吃40 天，供 15 头牛吃 20 天。可供25 头牛吃天。（）A.10 B.5 C.20 A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为1 份。每天新生的草量为：(1040-15 20)（40-20）=5（份）。那么愿草量为：1040-40 5=200（份），安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25 头牛吃：200（25-5）=10（天）。2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只 羊 则 要10天 吃 光。那 么 想 用4 天 的 时 间，把 这 块 草 地 的 草 吃 光，需 要 只 羊。（）A.22 B.23 C.24 B假设 1 只羊 1 天吃草的量为1 份。每天新生草量是：（1410-20 5）（10-5）=8（份）原草量是：205-8 560（份）安排8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：604+823（只）3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3 个入场口，9 点9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8 点分。（）A.10 B.12 C.15 C假设每个人口每分钟进入的观众量是1 份。每分钟来的观众人数为（39-5 5）（9-5）=0.5（份）到 9 时止，已来的观众人数为：3 9-0.5 922.5（份）第一个观众来到时比9 时提前了：22.5 0.5 45（分）所以第一个观众到达的时间是9 时-45 分=8 时 15 分。4.经测算，地球上的资源可供100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。70 设 1 亿人 1 年所消耗的资源为1 份那么地球上每年新生成的资源量为：（80300-100 100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：701=70（亿人）5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24 千米、精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载20 千米、19 千米。快车追上自行车用了6 小时，中车追上自行车用了10 小时，慢车追上自行车用（）小时。12 自行车的速度是：（2010-24 6）（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距A地：（24-14）6=60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60（19-14）=12（小时）6.一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24 根抽水管抽水，6 小时可以把池中的水抽干，那么用16 根抽水管，（）小时可将可将水池中的水抽干。18 设 1 根抽水管每小时抽水量为1 份。（1）进水管每小时卸货量是：（218-24 6）（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：218-12 8 72（份）（3）16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72（16-12）=18（小时）7.某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车，12 小时可以把它们运完，如果用 8 辆汽车，16 小时可以把它们运完。如果开始只用3 辆汽车，10 小时后增加若干辆，再过4 小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。19 设每两汽车每小时运的货物为1 份。（1）进水管每小时的进水量为：（816-9 12）（16-12）=5（份）（2）码头原有货物量是：9 12-12 548（份）（3）3 辆汽车运10 小时后还有货物量是：48+（5-3）10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是：（68+45）4-3=19（辆）8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16 头牛吃 20 天，可供80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？8 天（1）按牛的吃草量来计算，80 只羊相当于804=20（头）牛。（2）设 1 头牛 1 天的吃草量为1 份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-20 12）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：1620-10 20120（份）（5）最后求出10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（10+604-10）=8（天）9.某水库建有10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5 小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？4 个 设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为1 份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（130-2 10）（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：130-0.5 30 15（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是：15+0.5 5.5 17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75 5.5 4（个）（采用“进1”法取值）10.现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2 倍去追乙车，5 小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2 5-33）（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：25-0.5 57.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5（1-0.5）=15（小时）精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 6 页
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