中考专题复习之——新定义题

中考专项复习之新定义题一选择题（共2小题）1连接一种几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）ABCD2对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，b）如f（1，2）=（1，2）；g（a，b）=（b，a）如g（1，2）=（2，1）据此得g（f（5，9）=（）A（5，9）B（9，5）C（5，9）D（9，5）二填空题（共2小题）3我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线既有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm将这两个三角形相等的边重叠拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是cm4在ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线如图，A=36，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的ABC的相似线最多有条三解答题（共16小题）5定义：对于实数a，符号a表达不不小于a的最大整数例如：5.7=5，5=5，=4（1）如果a=3，则a的取值范畴为；（2）如果=4，求满足条件的所有正整数x6我们给出如下定义：若一种四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；（2）如图，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB7我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”已知：在“等对角四边形”ABCD中，DAB=60，ABC=90，AB=5，AD=4，求对角线AC的长8提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AEDH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并阐明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HFGE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积9定义：如果两条线段将一种三角形提成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）请你在图1中用两种不同的措施画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种措施分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设C=x，试画出示意图，并直接写出x所有也许的值；（3）如图2，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长10通过锐角三角比的学习，我们已经懂得在直角三角形中，一种锐角的大小与两条边长的比值互相唯一拟定，因此边长比与角的大小之间可以互相转化类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=我们容易懂得一种角的大小与这个角的正对值也是互相唯一拟定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60=；sad90=（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范畴是（3）试求sad36的值11若一种四边形的一条对角线把四边形提成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120，C=75，BD平分ABC求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在1216的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一种扇形BAC，点ABC均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一种点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90，AC是四边形ABCD的和谐线，求BCD的度数12对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是一般的四则运算，例如：T（0，1）=b（1）已知T（1，1）=，T（4，2）=1求a，b的值；若有关m的不等式组正好有5个整数解，求实数p的取值范畴；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均故意义），则a，b应满足如何的关系式？13【探究发现】如图1，ABC是等边三角形，AEF=60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学爱好小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其他条件不变），结论AE=EF仍然成立如果你是该爱好小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种状况中，任选一种状况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出SABC：SAEF的值14如图1，P为MON平分线OC上一点，以P为顶点的APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2，我们就把APB叫做MON的关联角（1）如图2，P为MON平分线OC上一点，过P作PBON于B，APOC于P，那么APBMON的关联角（填“是”或“不是”）（2）如图3，如果MON=60，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数；如果MON=（090），OP=m，APB是MON的关联角，直接用品有和m的代数式表达AOB的面积（3）如图4，点C是函数y=（x0）图象上一种动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标15如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线相应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高（1）抛物线y=x2相应的碟宽为；抛物线y=4x2相应的碟宽为；抛物线y=ax2（a0）相应的碟宽为；抛物线y=a（x2）2+3（a0）相应的碟宽为；（2）抛物线y=ax24ax（a0）相应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an0）的相应准蝶形记为Fn（n=1，2，3），定义F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比若Fn与Fn1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其相应的准蝶形记为F1求抛物线y2的体现式；若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽右端点横坐标为；F1，F2，Fn的碟宽右端点与否在一条直线上？若是，直接写出该直线的体现式；若不是，请阐明理由16如果三角形有一边上的中线长正好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一种“好玩三角形”；（2）如图在RtABC中，C=90，tanA=，求证：ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，ABC=2，点P，Q从点A同步出发，以相似速度分别沿折线ABBC和ADDC向终点C运动，记点P通过的路程为s当=45时，若APQ是“好玩三角形”，试求的值17对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下的定义：若C上存在两个点A、B，使得APB=60，则称P为C的关联点已知点D（，），E（0，2），F（2，0）（1）当O的半径为1时，在点D、E、F中，O的关联点是过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线l上的点P（m，n）是O的关联点，求m的取值范畴；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范畴18问题探究（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一种等腰三角形APD，并求出此时BP的长；（2）如图，在ABC中，ABC=60，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大概为60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上与否存在点M，使AMB=60？若存在，祈求出符合条件的DM的长，若不存在，请阐明理由19某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2既有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同步出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路持续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽视不计），两车速度均为200米/分探究：设行驶吋间为t分（1）当0t8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米） 与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为什么值时，1号车第三次正好通过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重叠）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米状况一：若她刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；状况二：若她刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车比较哪种状况用时较多？（含候车时间）决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去步行的速度是50米/分当行进到DA上一点P （不与点D，A重叠）时，刚好与2号车迎面相遇（1）她发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要阐明理由：（2）设PA=s（0s800）米若她想尽快达到出口A，根据s的大小，在等待乘1号车还是步行这两种方式中她该如何选择？20【问题情境】如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F求证：PD+PE=CF【结论运用】如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图3是一种航模的截面示意图在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，且ADCE=DEBC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和04月14日马 赛的初中数学组卷参照答案与试题解析一选择题（共2小题）1（常德）连接一种几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）ABCD【分析】先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可【解答】解：连接BC，则BC为这个几何图形的直径，过O作OMBC于M，OB=OC，BOM=BOC=60，OBM=30，OB=2，OMBC，OM=OB=1，由勾股定理得：BM=，由垂径定理得：BC=2；连接AC、BD，则BD为这个图形的直径，四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ABC，ABC=60，ABO=30，AO=AB=1，由勾股定理得：BO=，BD=2BO=2；连接BD，则BD为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=2；连接BD，则BD为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=，22，选项A、B、D错误，选项C对的；故选C【点评】本题考察了菱形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，扇形性质等知识点的应用，重要考察学生的理解能力和推理能力2（乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，b）如f（1，2）=（1，2）；g（a，b）=（b，a）如g（1，2）=（2，1）据此得g（f（5，9）=（）A（5，9）B（9，5）C（5，9）D（9，5）【分析】根据两种变换的规则，先计算f（5，9）=（5，9），再计算g（5，9）即可【解答】解：g（f（5，9）=g（5，9）=（9，5）故选D【点评】本题考察了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的核心二填空题（共2小题）3（杨浦区二模）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线既有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm将这两个三角形相等的边重叠拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是cm【分析】一方面运用勾股定理的逆定理得出边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形，然后将这两个直角三角形相等的边重叠拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么只有一种状况，画出图形，根据正弦函数的定义求出OA，由中点的定义得出AM，再根据OM=AMOA即可求解【解答】解：32+42=9+16=25=52，边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形如图，将两个全等的直角ABC与DEF的斜边AC与DF重叠，拼成凸四边形ABCE，AC与BE交于点O，M为AC的中点ABCDEF，AB=AE=3cm，BAC=EDF，BO=OE，AOBE在RtAOB中，AOB=90，OA=ABcosBAO=3=，AM=AC=，OM=AMOA=即奇异中位线的长是cm故答案为【点评】本题考察了勾股定理的逆定理，图形的拼组，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，难度适中根据题目规定画出符合题意的图形是解题的核心4（淄博）在ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线如图，A=36，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的ABC的相似线最多有3条【分析】根据相似三角形的鉴定措施分别运用平行线以及垂直平分线的性质得出相应角相等即可得出【解答】解：当PDBC时，APDABC，当PEAC时，BPEBAC，连接PC，A=36，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，AP=PC，ABC=ACB=72，ACP=PAC=36，PCB=36，B=B，PCB=A，CPBACB，故过点P的ABC的相似线最多有3条故答案为：3【点评】此题重要考察了相似三角形的鉴定，对的掌握相似三角形的鉴定措施作出辅助线是解题核心三解答题（共16小题）5定义：对于实数a，符号a表达不不小于a的最大整数例如：5.7=5，5=5，=4（1）如果a=3，则a的取值范畴为3a2；（2）如果=4，求满足条件的所有正整数x【分析】（1）根据a=3，得出3a2，求出a的解即可；（2）根据题意得出45，求出x的取值范畴，从而得出满足条件的所有正整数的解【解答】解：（1）a=3，a的取值范畴是3a2；（2）根据题意得：45，解得：7x9则满足条件的所有正整数为7，8【点评】此题考察了一元一次不等式组的应用，解题的核心是根据题意列出不等式组，求出不等式的解6（秋无锡校级期末）我们给出如下定义：若一种四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称矩形，正方形；（2）如图，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）根据规定和图形，分析知该四边形即为矩形，画图即可【解答】解：（1）矩形、正方形；（2）根据规定和图形，则该四边形即为矩形，根据上述定义可知只要有一种角为直角的四边形就是勾股四边形，BOA为直角，点M在点（3，4）时四边形OAMB为勾股四边形，点M横纵坐标分别为3，4，由勾股定理知AM2+AO2=OM2OM=5由勾股定理得AB也为5，对角线相等，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB，点M坐标尚有（3，4），（4，3）【点评】此题考察了学生对新定义的理解以及特殊四边形的性质7（厦门模拟）我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”已知：在“等对角四边形”ABCD中，DAB=60，ABC=90，AB=5，AD=4，求对角线AC的长【分析】分两种状况：当ADC=ABC=90时，延长AD，BC相交于点E，先用含30角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；当BCD=DAB=60时，过点D作DMAB于点M，DNBC于点N，则AMD=90，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可【解答】解：分两种状况：当ADC=ABC=90时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示：ABC=90，DAB=60，AB=5，E=30，AE=2AB=10，DE=AEAD=1046，EDC=90，E=30，CD=2，AC=2；当BCD=DAB=60时，过点D作DMAB于点M，DNBC于点N，如图2所示：则AMD=90，四边形BNDM是矩形，DAB=60，ADM=30，AM=AD=2，DM=2BM=ABAM=52=3，四边形BNDM是矩形，DN=BM=3，BN=DM=2，BCD=60，CN=，BC=CN+BN=3，AC=2；综上所述：AC的长为2或2【点评】此题考察了新定义、四边形内角和定理、勾股定理、矩形的鉴定与性质等知识，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才干得出成果8（衢州）提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AEDH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并阐明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HFGE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积【分析】（1）由正方形的性质得AB=DA，ABE=90=DAH因此HAO+OAD=90，又知ADO+OAD=90，因此HAO=ADO，于是ABEDAH，可得AE=DH；（2）EF=GH将FE平移到AM处，则AMEF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DNGH，DN=GH根据（1）的结论得AM=DN，因此EF=GH；（3）易得AHFCGE，因此，由EC=2得AF=1，过F作FPBC于P，根据勾股定理得EF=，由于FHEG，因此，根据（2）知EF=GH，因此FO=HO，再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=DA，ABE=90=DAHHAO+OAD=90AEDH，ADO+OAD=90HAO=ADOABEDAH（ASA），AE=DH（2）EF=GH将FE平移到AM处，则AMEF，AM=EF将GH平移到DN处，则DNGH，DN=GHEFGH，AMDN，根据（1）的结论得AM=DN，因此EF=GH；（3）四边形ABCD是正方形，ABCDAHO=CGOFHEGFHO=EGOAHF=CGEAHFCGEEC=2AF=1过F作FPBC于P，根据勾股定理得EF=，FHEG，根据（2）知EF=GH，FO=HO，阴影部分面积为【点评】本题考察了三角形的综合知识用到全等三角形的鉴定与性质、相似三角形的鉴定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大9（秋宜兴市校级期中）定义：如果两条线段将一种三角形提成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）请你在图1中用两种不同的措施画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种措施分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设C=x，试画出示意图，并直接写出x所有也许的值；（3）如图2，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长【分析】（1）45自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一种等腰直角三角形和直角三角形直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45和22.5，再以22.5分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（2）用量角器，直尺原则作30角，而后拟定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可拟定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同始终线上，易得2种三角形ABC，根据图形易得x的值；（3）由于C=2B，作C的角平分线，则可得第一种等腰三角形而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找与否存在三分线，易得如图4图形为三分线则可根据外角等于内角之和及腰相等等状况列出等量关系，解方程可知三分线的长【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：当AD=AE时，2x+x=30+30，x=20；当AD=DE时，30+30+2x+x=180，x=40；（3）如图所示，CD、AE就是所求的三分线设B=，则DCB=DCA=EAC=，ADE=AED=2，此时AECBDC，ACDABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，AECBDC，x：y=2：3，ACDABC，2：x=（x+y）：2，由和解得或（舍去），AE=，CD=，即三分线的长分别为和【点评】此题是相似形的综合题，重要考察了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，掌握相似三角形的鉴定与性质，根据成比例的线段联立方程解决问题10（宝山区一模）通过锐角三角比的学习，我们已经懂得在直角三角形中，一种锐角的大小与两条边长的比值互相唯一拟定，因此边长比与角的大小之间可以互相转化类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=我们容易懂得一种角的大小与这个角的正对值也是互相唯一拟定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60=1；sad90=（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范畴是0sadA2（3）试求sad36的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出sad90的值；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出等腰ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad60=1根据正对定义，当顶角为90时，等腰三角形底角为45，则三角形为等腰直角三角形，则sad90=故答案为：1，（2）当A接近0时，sadA接近0，当A接近180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2于是sadA的取值范畴是0sadA2故答案为：0sadA2（3）如图所示：已知：A=36，AB=AC，BC=BD，A=CBD=36，ABC=C=72，BCDABC，=，=，解得：BC=CD，sad36=【点评】本题考察理解直角三角形：运用三角函数的定义和相似三角形的鉴定与性质，根据题意得出BC与CD的关系是解题核心11（宁波）若一种四边形的一条对角线把四边形提成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120，C=75，BD平分ABC求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在1216的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一种扇形BAC，点ABC均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一种点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90，AC是四边形ABCD的和谐线，求BCD的度数【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明ABD和BDC是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在中点时构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在BAC外作一种以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种状况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30的直角三角形性质就可以求出BCD的度数【解答】解：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ADB=DBCBAD=120，ABC=60BD平分ABC，ABD=DBC=30，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75，DBC=30，BDC=C=75，BCD为等腰三角形，BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）AC是四边形ABCD的和谐线，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形，BAC=BCA=60BAD=90，CAD=30，ACD=ADC=75，BCD=60+75=135如图5，当AD=CD时，AB=AD=BC=CDBAD=90，四边形ABCD是正方形，BCD=90如图6，当AC=CD时，过点C作CEAD于E，过点B作BFCE于F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90，四边形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC，BF=BC，BCF=30AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15，BCD=153=45【点评】本题是一道四边形的综合试题，考察了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的鉴定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的运用解答如图6这种状况容易忽视，解答时合理运用分类讨论思想是核心12对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是一般的四则运算，例如：T（0，1）=b（1）已知T（1，1）=，T（4，2）=1求a，b的值；若有关m的不等式组正好有5个整数解，求实数p的取值范畴；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均故意义），则a，b应满足如何的关系式？【分析】（1）已知两对值代入T中计算求出a与b的值；根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组正好有5个整数解，求出p的范畴即可；（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整顿后即可拟定出a与b的关系式【解答】解：（1）根据题意得：T（1，1）=，即ab=1，T=（4，2）=1，即2a+b=7，联立，解得：a=2，b=3；根据题意得：，由得：m；由得：m，不等式组的解集为m，不等式组正好有5个整数解，即m=0，1，2，3，445，解得：p11；（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，整顿得：（x2y2）（2ba）=0，T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，2ba=0，即a=2b【点评】此题考察了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的核心13（东营）【探究发现】如图1，ABC是等边三角形，AEF=60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学爱好小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其他条件不变），结论AE=EF仍然成立如果你是该爱好小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种状况中，任选一种状况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出SABC：SAEF的值【分析】根据等边三角形的性质，可得AB=BC，B=ACB=60，根据三角形外角的性质，可得AEC=B+GAE=60+GAE，根据ASA，可得AGEECF，根据全等三角形的性质，可得结论；根据等边三角形的鉴定，可得AEF是等边三角形，根据等边三角形相似，可得ABC与AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案【解答】证明：第一种状况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：措施一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，ABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等边三角形，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分线，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECF（ASA），AE=EF；措施二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似措施一；措施三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证CEG是等边三角形，CE=EG，G=ACB=60，CEG=AEF=60，CEG+CEF=AEF+CEF，即GEF=AEC，GEFCEA，AE=EF第二种状况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：在CF上截取CG=CE，连接GE延长AC到G，使CG=CE，连结EG；或延长BA到G，使BG=BE，连结EG第种添加辅助线的措施证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证CEG为等边三角形，G=ECF=60，EG=CE，又AEG=CEG+AEC=60+AEC，CEF=AEF+AEC=60+AEC，AEG=CEF，AEGFEC，AE=EF第三种状况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：延长AB到G，使BG=BE，连结EG；延长CF到G，使CG=CE，连结EG；在CE上截取CG=CF，连结GF现就第种添加辅助线的措施证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证BEG为等边三角形，G=ECF=60，AEB+BAE=ABC=60，AEB+CEF=AEF=60，BAE=CEF，AB=BC，BG=BE，AB+BG=BC+BE，即AG=CE，AEGEFC，AE=EF拓展应用：如图4：作CHAE于H点，AHC=90由数学思考得AE=EF，又AEF=60，AEF是等边三角形，ABCAEFCE=BC=AC，ABC是等边三角形，CAH=30，AH=EHCH=AC，AH=AC，AE=AC，=【点评】本题考察了相似形综合题，运用了全等三角形的鉴定与性质，相似三角形的鉴定与性质，构造全等三角形是解题核心，题目稍有难度14（门头沟区一模）如图1，P为MON平分线OC上一点，以P为顶点的APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2，我们就把APB叫做MON的关联角（1）如图2，P为MON平分线OC上一点，过P作PBON于B，APOC于P，那么APB是MON的关联角（填“是”或“不是”）（2）如图3，如果MON=60，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数；如果MON=（090），OP=m，APB是MON的关联角，直接用品有和m的代数式表达AOB的面积（3）如图4，点C是函数y=（x0）图象上一种动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标【分析】（1）先判断出OBPOPA，即可；（2）先根据关联角求出OAOB=4，再运用三角形的面积公式，以及相似，得到OAP=OPB，即可；（3）根据条件分状况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，通过计算，不存在，在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一种三等分点，即可【解答】解：（1）P为MON平分线OC上一点，BOP=AOP，PBON于B，APOC于P，OBP=OPA，OBPOPA，OP2=OAOB，APB是MON的关联角故答案为是（2）如图，过点A作AHOB，APB是MON的关联角，OP=2，OAOB=OP2=4，在RtAOH中，AOH=90，sinAOH=，AH=OAsinAOH，SAOB=OBAH=OBOAsin60=OP2=，OP2=OAOB，点P为MON的平分线上一点，AOP=BOP=MON=30，AOPPOB，OAP=OPB，APB=OPB+OPA=OAP+OPA=18030=150，由有，SAOB=OBOAMON=m2sin；（3）过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，只有点A在x轴正半轴，当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴即：点P只能在第四象限，设A（m，0），B（0，n）（m0，n0）OA=m，OB=n，BC=2CA，点A是BC中点，点C（2m，n），点C在双曲线y=上，2m（n）=2，mn=1，AOB的关联角APBOP2=OAOB=|m|n|=1，OP=1，点P在AOB的平分线上，设P（a，a）（a0），OP2=2a2，2a2=1，a=或a=（舍），点P（，）当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，因此，点A只能在x轴正半轴上，设A（m，0），B（0，n）（m0，n0）点C（，），=2，mn=9，AOB的关联角APBOP2=OA0B=mn=9，OP=3，点P在AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P（a，a），（a0）OP2=2a2，2a2=9，a=或a=（舍）即：点P（，），综上所述，（，）或（，）【点评】此题是几何变换综合题，重要考察了新定义，关联角的理解和简朴应用，相似三角形的鉴定和性质，关联角的理解是解本题的核心15（南昌）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线相应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高（1）抛物线y=x2相应的碟宽为4；抛物线y=4x2相应的碟宽为；抛物线y=ax2（a0）相应的碟宽为；抛物线y=a（x2）2+3（a0）相应的碟宽为；（2）抛物线y=ax24ax（a0）相应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an0）的相应准蝶形记为Fn（n=1，2，3），定义F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比若Fn与Fn1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其相应的准蝶形记为F1求抛物线y2的体现式；若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽右端点横坐标为2+；F1，F2，Fn的碟宽右端点与否在一条直线上？若是，直接写出该直线的体现式；若不是，请阐明理由【分析】（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=x2，抛物线y=4x2的碟宽，且都运用端点（第一象限）横纵坐标的相等推广至含字母的抛物线y=ax2（a0），类似而抛物线y=a（x2）2+3（a0）为顶点式，可当作y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得a的值（3）由y1，易推y2结合画图，易知h1，h2，h3，hn1，hn都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑hnhn1，且都过Fn1的碟宽中点，进而可得另画图时易知碟宽有规律递减，因此推理也可得右端点的特点对于“F1，F2，Fn的碟宽右端点与否在一条直线上？”，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律更难，因此可以考虑基本的几种图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反则结论成立求直线方程只需考虑特殊点即可【解答】解：（1）4；分析如下：a0，y=ax2的图象大体如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OBOAB为等腰直角三角形，ABx轴，OCAB，AOC=BOC=AOB=90=45，ACO与BCO亦为等腰直角三角形，AC=OC=BC，xA=yA，xB=yB，代入y=ax2，A（，），B（，），C（0，），AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为抛物线y=x2相应的a=，得碟宽为4；抛物线y=4x2相应的a=4，得碟宽为为；抛物线y=ax2（a0），碟宽为；抛物线y=a（x2）2+3（a0）可当作y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，平移不变化形状、大小、方向，抛物线y=a（x2）2+3（a0）的准碟形抛物线y=ax2的准碟，抛物线y=ax2（a0），碟宽为，抛物线y=a（x2）2+3（a0），碟宽为（2）y=ax24ax=a（x2）2（4a+），同（1），其碟宽为，y=ax24ax的碟宽为6，=6，解得 a=，y=（x2）23（3）F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，a1=，a2=y=（x2）23的碟宽AB在x轴上（A在B左边），A（1，0），B（5，0），F2的碟顶坐标为（2，0），y2=（x2）2Fn的准碟形为等腰直角三角形，Fn的碟宽为2hn，2hn：2hn1=1：2，hn=hn1=（）2hn2=（）3hn3=（）n1h1，h1=3，hn=hnhn1，且都过Fn1的碟宽中点，h1，h2，h3，hn1，hn都在一条直线上，h1在直线x=2上，h1，h2，h3，hn1，hn都在直线x=2上，Fn的碟宽右端点横坐标为2+另，F1，F2，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=x+5分析如下：考虑Fn2，Fn1，Fn情形，关系如图2，Fn2，Fn1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EHABx轴，DEx轴，GHx轴，ABDEGH，GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，HEGF，EBDC，GFI=GFH=DCE=DCF，GFDC，HEEB，HE，EB都过E点，HE，EB在一条直线上，Fn2，Fn1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，F1，F2，Fn的碟宽的右端点是在一条直线F1：y1=（x2）23准碟形右端点坐标为（5，0）， F2：y2=（x2）2准碟形右端点坐标为（2+，），待定系数可得过两点的直线为y=x+5，F1，F2，Fn的碟宽的右端点是在直线y=x+5上【点评】本题考察学生对新知识的学习、理解与应用能力题目中重要波及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生清晰理解有一定困难16（秋拱墅区期末）如果三角形有一边上的中线长正好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一种“好玩三角形”；（2）如图在RtABC中，C=90，tanA=，求证：ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，ABC=2，点P，Q从点A同步出发，以相似速度分别沿折线ABBC和ADDC向终点C运动，记点P通过的路程为s当=45时，若APQ是“好玩三角形”，试求的值【分析】（1）先画一条线段AB，再拟定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则ABC是所求作的三角形；（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；（3）当=45时，分状况讨论，P点在AB上时，APQ是等腰直角三角形，不也许是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分状况讨论，就可以求出=，再分状况讨论就可以求出当AE=PQ时，的值，当AP=QM时，可以求出的值【解答】解：（1）