（名师导学）2020版高考数学总复习 第十章 直线与圆、圆锥曲线 第64讲 圆的方程练习 理（含解析）新人教A版

第64讲圆的方程夯实基础【p146】【学习目标】1掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题2能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题【基础检测】1当圆x2y22x2ky2k20的面积最大时，圆心坐标是()A(0，1) B(1，0) C(1，1) D(1，1)【解析】因为x2y22x2ky2k20，所以(x1)2(yk)21k2，因此圆面积为(1k2)，k0时圆面积最大，此时圆心坐标为(1，0)【答案】B2若点(2a，a1)在以(0，1)为圆心，半径为的圆内，则实数a的取值范围是()A(1，1) B(0，1)C.D.【解析】由题意，4a2a25，即a21，解之得：1a1.【答案】A3方程ax2ay24(a1)x4y0表示圆，则a的取值范围是()AaRBa1且aRCa0且aRDa(0，4【解析】a0时，方程为，由a22a20恒成立，a0且aR时方程表示圆【答案】C4圆C是以直线l：(2m1)x(m1)y2m0的定点为圆心，半径r4的圆，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)216B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216D(x2)2(y2)216【解析】由(2m1)x(m1)y2m0有(2xy2)m(xy)0，所以直线过定点(2，2)，则所求圆的方程为(x2)2(y2)216.【答案】A5在平面直角坐标系中，三点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是_【解析】设三角形OAB的外接圆方程是x2y2DxEyF0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上，可得解得所以三角形的外接圆的方程为x2y26x2y0.【答案】x2y26x2y0【知识要点】1圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长为半径2圆的方程(1)圆的标准方程圆心是(a，b)，半径是r的圆的标准方程是_(xa)2(yb)2r2_当圆心在(0，0)时，方程为_x2y2r2_(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0可变形为_故有：当D2E24F0时，方程表示以_为圆心，以_为半径的圆；当D2E24F0时，方程表示一个点_；当D2E24F0)的位置关系：若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆外；若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆上；若(x0a)2(y0b)22，即点Q在圆C外，所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.【点评】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题考点3与圆有关的综合问题已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由【解析】(1)设圆心C(a，b)，则解得又点P(1，1)在圆C上，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以的最小值为4(可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，则PB：y1k(x1)，由，得(1k2)x22k(1k)x(1k)220，因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA，同理，xB，所以kAB1kOP，所以直线AB和OP一定平行【点评】(1)两圆关于某直线对称，其圆心对称，半径相等(2)通过坐标计算数量积，等价转化为求函数最值(3)通过“设而不求”的思想处理方法总结【p147】1在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元二次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程2在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件3在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程走进高考【p148】1(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程【解析】(1)设A，B，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m42m24.故圆心M的坐标为，圆M的半径r，由于圆M过点P(4，2)，因此0，故0，即x1x24y1y22200.由(1)可得y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为10.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为.2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则，解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.考点集训【p259】A组题1圆x2y22x6y60的圆心和半径分别为()A圆心(1，3)，半径为2B圆心(1，3)，半径为2C圆心(1，3)，半径为4D圆心(1，3)，半径为4【解析】将x2y22x6y60配方得(x1)2(y3)24，所以圆心为(1，3)，半径为2.【答案】B2已知两点A(1，3)，B(3，a)，以线段AB为直径的圆经过原点，则该圆的标准方程为()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)240C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)232【解析】以线段AB为直径的圆经过原点，则OAOB，所以1，a1，线段AB中点为(1，2)，半径r|AB|，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)25.【答案】A3设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上B原点在圆外C原点在圆内D不确定【解析】将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原点在圆外【答案】B4已知点P为直线yx1上的一点，M，N分别为圆C1：(x4)2(y1)24与圆C2：x2(y2)21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A4B5C6D7【解析】求得C2(0，2)关于直线yx1的对称点为C(m，n)，由解得C(1，1)，由对称性可得|PC|PC2|，则|PC1|PC2|PC1|PC|C1C|3，由于|PM|PC1|2，|PN|PC2|1，|PM|PN|PC1|PC2|36，故|PM|PN|的最大值为6.【答案】C5已知圆O：x2y21.圆O与圆O关于直线xy20对称，则圆O的方程是_【解析】设圆O的圆心(a，b)，因为圆O的圆心与圆O：x2y21的圆心关于直线l：xy20对称，所以解得a2，b2；又圆的半径为1，则所求圆的方程为：(x2)2(y2)21.【答案】(x2)2(y2)216已知点P(x，y)为圆x2y24上的动点，则xy的最大值为_【解析】令x2cos，y2sin(R)，则xy2cos2sin2sin2，2【答案】27已知圆N的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围【解析】(1)因为点M在圆上，所以(65)2(96)2a2，又由a0，可得a.(2)由两点间距离公式可得|PN|，|QN|3，因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3，所以3a0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_【解析】因为圆C：x2(y1)21的圆心为C(0，1)，半径是r1，所以四边形PACB的面积为S2SPAC|PA|1，当|PC|最小，即圆心C(0，1)到直线kxy40的距离d最小时，四边形PACB的面积最小，由题设可得14，由k0，解之得k2.【答案】23已知定点A(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，动点P满足：k|2.(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k2时，求|2|的最大值、最小值【解析】(1)设动点坐标为P(x，y)，则(x，y1)，(x，y1)，(1x，y)因为k|2，所以x2y21k(x1)2y2，整理得(1k)x2(1k)y22kxk10.若k1，则方程为x1，表示过点(1，0)且平行于y轴的直线若k1，则方程为y2，表示以为圆心，以为半径的圆(2)最大值为3，最小值为3.4在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的值无关)？请证明你的结论【解析】(1)令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)令f(x)x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0，得y2EyF0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xy2x0y0b(1y0)0，(*)为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1y00，结合(*)式得xy2x0y00，解得或经检验，点(0，1)，(2，1)均在圆C上，因此圆C过这两定点.备课札记15