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专题06 函数的奇偶性与周期性一、【知识精讲】1函数的奇偶性(1)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3函数的对称性常见的结论(1)函数yf(x)关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0对称f(x)f(x)(即为偶函数)(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)(3)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于点(a,0)对称知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)1fx，则T2a(a0)(3)若f(xa)1fx，则T2a(a0)二、【典例精练】考点一判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【解析】(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.【解法小结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.考点二函数的周期性及其应用例2. (1) (2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.法二取一个符合题意的函数f(x)2sin，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列.故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.(2)因为当0x0 B减函数且f(x)0 D增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)0.【解法小结】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【思维升华】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.【易错 注意点】1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.三、【名校新题】1.(2019衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()A.yx3B.yxC.y|x| D.y|tan x|【答案】C【解析】对于A，yx3为奇函数，不符合题意；对于B，yx是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y|tan x|是偶函数，但在区间(0，)上不单调递增.2(2019南昌联考)函数f(x)的图象()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称【答案】B【解析】因为f(x)3x3x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称3 (2019河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(8)()A.2 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】法一当x0，且f(x)为奇函数，则f(x)log3(1x)，所以f(x)log3(1x).因此g(x)log3(1x)，x0，则x的取值范围为()A.x|0x2B.x|x2C.x|x3D.x|x1【答案】A【解析】由题意知函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，不等式f(x1)0f(x1)f(1)或f(x1)f(1).x11或0x11，解之得x2或0x1.6(2019益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，当x(3,0时，f(x)x1，当x(0,2时，f(x)log2x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B405C806 D809【答案】B【解析】定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x(0,2时，f(x)log2x，所以f(1)log210，f(2)log221.当x(3,0时，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.故f(1)f(2)f(3)f(2 019)403f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(2 019)4031f(1)f(2)f(3)f(4)4030110405.7(2018石家庄一模)设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3,3 B2,4C1,5 D0,6【答案】B【解析】因为f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，所以有2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6,0上为增函数，得f(x)在(0,6上为减函数，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.8(2019长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()AyexexByln(|x|1)Cy Dyx【答案】D【解析】选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，yx是奇函数，且yx和y在(0，)上均为增函数，故yx在(0，)上为增函数，所以选项D正确9(2019合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()AfffBfffCfffDfff【答案】C【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知fff.10. (2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.【答案】2【解析】根据题意，函数f(x)的图象关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)，又由函数为奇函数，则f(x)f(x)，则有f(x)f(6x)f(x12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.11.(2019上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，f(x)_.【答案】log2(3x)【解析】当x1，2时，x21，0，2x0，1，又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x).12. (2018日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.【答案】4【解析】因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.13(2019洛阳统考)若函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，则实数a_.【答案】.【解析】法一：(定义法)函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，f(x)f(x)，即ln(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.14(2019陕西一测)若函数f(x)axb，xa4，a的图象关于原点对称，则函数g(x)bx，x4，1的值域为_【答案】【解析】由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a4a0，即a2，则函数f(x)2xb，其定义域为2,2，所以f(0)0，所以b0，所以g(x)，易知g(x)在4，1上单调递减，故值域为g(1)，g(4)，即.15(2019惠州调研)已知函数f(x)x1，f(a)2，则f(a)_.【答案】-4【解析】法一：因为f(x)1x，设g(x)f(x)1x，易判断g(x)x为奇函数，故g(x)g(x)xx0，即f(x)1f(x)10，故f(x)f(x)2.所以f(a)f(a)2，故f(a)4.法二：由已知得f(a)a12，即a3，所以f(a)a11314.16已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围【解析】：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,317.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.12
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