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第65练 立体几何中的易错题1四个平面最多可将空间分割成_个部分2已知直线a，b与平面，有下列四个命题：若ab，a，则b；若ab，a，则b；若，a，则a；若，则.其中，正确的命题是_(填序号)3球O是正方体ABCDA1B1C1D1的外接球，若正方体ABCDA1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则_.4(2019南通调研)点D为ABC所在平面外一点，E，F分别为DA和DC上的点，G，H分别为BA和BC上的点，且EF和GH相交于点M，则点M一定在直线_上5.在体积为9的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为2，则三棱锥SA1B1C1的体积为_6在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_7(2019江苏镇江期末)如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_8已知三棱锥ABCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB，BC3，AC2，若三棱锥ABCD体积的最大值为，则此球的表面积为_9(2019溧阳期末)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB90，则侧棱AA1的长的最小值为_10在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为_11.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12AD，E是DD1的中点，BFC1KAB，设过点E，F，K的平面与平面AC的交线为l，则直线l与直线A1D1所成角的正切值为_12.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1ABM的体积为_13在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为_14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成角的大小为_15已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_16.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，E，F分别是BC，A1C1的中点设D是线段B1C1(包括两个端点)上的动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为时，则线段BD的长为_答案精析1152.3.4.AC5.16.解析以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0，0,2)，E(0,2,1)，则(2,0，2)，(0,2，1)设平面A1ED的法向量为n(x，y，z)，则则即令y1，得n(2,1,2)易知平面ABCD的法向量为m(0,0,1)，设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角为，则cos|cosn，m|.7.解析如图所示，取AC的中点G，连结SG，BG.易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得到HFAC且HFAC，DEAC且DEAC，所以HFDE且HFDE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积SHFHD.816解析因为AB2BC2AC2，所以ABBC，所以ABC为直角三角形，设球的半径为R，球心为O，AC的中点为M，则OM平面ABC，因为AC平面ABC，故OMAC.三棱锥DABC的最大体积为3(R)，解得R2，故球的表面积为16.92a解析设AA1h，AEx，A1Ehx，x0，h，则BE2a2x2，C1E2(a)2(hx)2，BCa2h2.又C1EB90，所以BE2C1E2BC，即a2x2(a)2(hx)2a2h2，即关于x的方程x2hxa20，x0，h有解，当x0时，a20，不合题意，当x0时，hx2a，当且仅当xa时取等号即侧棱AA1的最小值为2a.106解析设两两垂直的三条侧棱的长度分别为a，b，c，可以得到ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以2R，所以球的表面积为S4R26.114解析延长KE，CD交于M点(图略)，又，同样延长KF，CB交于N点，又，MN即为过点E，F，K的平面与平面AC的交线l，又CN平行于A1D1，即MN与CN所成角为所求，记所成角为，则tan4.12.解析棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，三棱锥A1ABM的体积为VA1ABMVMABA1SABA1BC111.138解析过点G作EFAC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作ENPB交AB于点N，过点F作FMPB交BC于点M，连结MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EFMNAC2，FMENPB2，所以截面的周长为248.1430解析连结BC1，交B1C于点O，再连结A1O(图略)，因为是在正方体ABCDA1B1C1D1中，所以BO平面A1B1CD，所以BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，所以在A1BO中，A1B，OB，所以sinBA1O，因为直线与平面所成角的范围是0，90，所以直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小为30.15.解析设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1平面ABCD，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系AB2，A1B11，ACBD2，A1C1B1D1，平面BDD1B1平面ABCD，B1BO为侧棱与底面所成的角，B1BO60，设棱台高为h，则tan60，h，A(0，0)，D1，B1，C(0，0)，cos，.故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.162解析以E为原点，EA，EC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图E(0,0,0)，F，B(0，1,0)，D(0，t,2)(1t1)，(0，t1,2)，设直线BD与EF所成的角为，则cos，解得t1，所以BD2.8
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