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第52讲直接证明与间接证明1.2018菏泽模拟 命题:“对于任意角,cos4-sin4=cos2”的证明过程:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos2”应用了()A.分析法B.综合法C.综合法与分析法D.放缩法2.用反证法证明命题“若aR,则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”时,正确的反设是()A.若aR,则函数y=x3+ax+b没有零点B.若aR,则函数y=x3+ax+b至多有一个零点C.若aR,则函数y=x3+ax+b至多有两个零点D.若aR,则函数y=x3+ax+b恰好有一个零点3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0,ab0,b0,a0,bB,只需C2”;命题:“若x2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x-2或x2”.以下结论正确的是()A.与的假设都错误B.与的假设都正确C.的假设正确,的假设错误D.的假设错误,的假设正确9.2018焦作期中 用分析法证明不等式(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)时,最后得到的一个显然成立的不等式是()A.(ac+bd)20B.a2+b20C.(ad-bc)20D.c2+d2010.2018临沂期末 “若x0,y0且x+y2,求证1+xy2,1+yx2,1+yx2;假设1+xy2,1+yx2;假设1+xy和1+yx中至多有一个不小于2;假设1+xy和1+yx中至少有一个不小于2.11.2018西安未央区期中 比较大小:8-510-7.12.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.B.C.D.13.凸函数具有以下性质定理:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.已知函数f(x)=sinx在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为.5课时作业(五十二)1.B解析 综合法的基本思路是“由因导果”,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后得到待证结论.故本题证明的过程应用了综合法.2.A解析 根据反证法的定义,可知“若aR,则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”的反设应为“若aR,则函数y=x3+ax+b没有零点”,故选A.3.C解析 因为abc,且a+b+c=0,所以b=-a-c,c0,要证b2-ac3a,只需证b2-ac3a2,只需证(-a-c)2-ac0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证(a-b)(a-c)0.4.3解析 不妨设a=sin,b=cos,x=3sin,y=3cos,则ax+by=3sinsin+3coscos=3(sinsin+coscos)=3cos(-)3,故ax+by的最大值是3.5.解析 要使ba+ab2成立,需ba0且ab0成立,即a,b都不为0且同号,故能使ba+ab2成立.6.A解析 用分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立,是的充分条件.故选A.7.A解析a+b2ab2aba+b,当且仅当a=b时取等号,且f(x)=12x在R上是减函数,fa+b2f(ab)f2aba+b,即ABC.8.C解析 用反证法证明时,其假设应否定命题的结论.证明:“已知p3+q3=2,求证:p+q2”时,可假设“p+q2”;证明:“若x2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x-2且x2”.故选C.9.C解析 要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),只要证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcda2d2+b2c2,即证(ad-bc)20,该式显然成立.10.解析 正确的假设为“假设1+xy2,1+yx2”.11.解析 猜想8-510-7.要证8-510-7,只要证8+710+5,即证(8+7)2(10+5)2,即证15+25615+250,即证5650,即证5650,显然成立,故8-510-7,猜想正确.12.C解析 若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,但a1,b1,但a1,b2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明如下:假设a1且b1,则a+b2,与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.13.332解析f(x)=sinx在区间(0,)上是凸函数,且A,B,C(0,),f(A)+f(B)+f(C)3fA+B+C3=f3,即sinA+sinB+sinC3sin3=332,sinA+sinB+sinC的最大值为332.
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