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专题08 指数与指数函数一、【知识精讲】1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.二、【典例精练】考点一指数幂的运算【例1】 化简下列各式：(1)22(0.01)0.5；(2)(6ab).【解析】(1)原式111.(2) 原式2(6)(3)ab4ab04a.【解法小结】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1) 若函数y21xm的图象不经过第一象限，则m的取值范围_【答案】(，2【解析】y21xmx1m，函数yx1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m2.故m的取值范围为(，2(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】(0，2)【解析】在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.b的取值范围是(0，2).【解法小结】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.考点三指数函数的性质及应用角度1指数函数的单调性【例31】 (1) (2016全国卷)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbca Dcab(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_.【答案】(1)A(2)(3，1)【解析】(1)因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255，由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得bac.故选A.答案A (2)当a0时，原不等式化为71，则2a3，所以3a0.当a0时，则1，0a0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.【答案】3或【解析】令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去).当0a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax214，解得a(负值舍去).综上，a3或a.【解法小结】1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【思维升华】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论.【易错注意点】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.三、【名校新题】1.(2019永州模拟)下列函数中，与函数y2x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.ysin xB.yx3C.yD.ylog2x【答案】B【解析】y2x2x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而ysin x不是单调递增函数，不符合题意；y是非奇非偶函数，不符合题意；ylog2x的定义域是(0，)，不符合题意；yx3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2. (2019衡水中学检测)不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A.B.C.D.【答案】C【解析】(1)y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，故函数y(a1)2x恒过定点.3.(2019东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.yB.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)【答案】A【解析】f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y的图象不过点A(1，1).4. (2019贵阳监测)已知函数f(x)42ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,6)B(1,5)C(0,5) D(5,0)【答案】A【解析】由于函数yax的图象过定点(0,1)，当x1时，f(x)426，故函数f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)5.(2019南宁调研)函数f(x)的单调递增区间是()A. B.C. D.【答案】D【解析】令xx20，得0x1，所以函数f(x)的定义域为0,1，因为yt是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数yx2x在0,1上的减区间，故选D.6.(2019郴州质检)已知函数f(x)ex，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x1)f(x1)0的解集为()A.(2，) B(2，)C.(2，) D(，2)【答案】B【解析】函数f(x)ex的定义域为R，f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数，那么不等式f(2x1)f(x1)0等价于f(2x1)f(x1)f(1x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，2x1x1，解得x2，不等式f(2x1)f(x1)0的解集为(2，)7.(2019西安市质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()【答案】D【解析】设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则zb(110.4%)x，故y(110.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.8.(2019合肥检测)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(2，1) B.(4，3) C.(3，4) D.(1，2)【答案】D【解析】原不等式变形为m2m，又y在(，1上是减函数，知2.故原不等式恒成立等价于m2m2，解得1m0，所以函数g(x)在(，)上为增函数，故符合要求；对于，g(x)ex3x，则g(x)(ex3x)ex3x(1ln 3)0，所以函数g(x)在(，)上为增函数，故符合要求综上，具有M性质的函数的序号为.11. (2019西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_【答案】x|x4或x0，则f(x)f(x)2x4.f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x0.不等式的解集为x|x4或x012.(2018长沙一中月考)已知函数f(x)为奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)0，所以a1.(2)由(1)知f(x)1，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明：设x1x2R，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以3x13x2，所以3x13x20，所以f(x1)0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2p+q36pq，则a_.【解析】因为f(x)，且其图象经过点P，Q，则f(p)，即，f(q)，即6，得1，则2pqa2pq36pq，所以a236，解得a6，因为a0，所以a6.14.已知定义在R上的函数f(x)2x，(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)当x0，所以2x2，所以x1.(2)当t1，2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，因为22t10，所以m(22t1)，因为t1，2，所以(22t1)17，5，故实数m的取值范围是5，).10
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