（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 高考解答题专项练1 函数与导数

高考解答题专项练函数与导数1.(2017浙江湖州改编)已知函数f(x)=ln x+1-xax,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间1,+)内单调递增,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间1,2上的最小值.解(1)由题意,f(x)=1x-1ax2=ax-1ax2,a为大于零的常数,若使函数f(x)在区间1,+)上单调递增,则使ax-10在区间1,+)上恒成立,即a-10,故a1;(2)当a1时,f(x)0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在1,2上为增函数,f(x)min=f(1)=0.当0a12时,f(x)0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在1,2上为减函数,f(x)min=f(2)=ln2-12a,当12a1时,令f(x)=0,得x=1a(1,2).又对于x1,1a时,有f(x)0,f(x)min=f1a=ln1a+1-1a,综上,f(x)在1,2上的最小值为当0a12时,f(x)min=ln2-12a;当12a0,g(x)在(0,+)递增,g(x)g(0)=0,即ln(x+1)x-12x2;(2)解由f(x)4x(t+1)lnx+tx2+3t-4x0,令(x)=(t+1)lnx+tx2+3t-4x,首先由(1)0t1,此时(x)=2tx2-4x+t+1x,令h(x)=2tx2-4x+t+1,t1,=16-8t(t+1)0恒成立,即(x)0,(x)在1,+)递增,故(x)(1)=4t-40,综上,t1.3.(2018浙江台州一模)已知函数f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,mR.(1)若m=2,写出函数f(x)的单调递增区间;(2)若对于任意的x-1,1,都有f(x)0,则x2,函数f(x)的单调递增区间为(-,1),(2,+).(2)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,f(x)=6x2-6(m+1)x+6m=6(x-1)(x-m),当m1时,f(x)在区间(-1,1)上递增,f(x)max=f(1)=3m-14,得m53,1m53;当-1m1时,f(x)在区间(-1,m)上递增,在区间(m,1)上递减,f(x)max=f(m)=-m3+3m20,(m+1)(m-2)20恒成立,-1m1;当m-1时,f(x)在区间(-1,1)上递减,f(x)max=f(-1)=-9m-5-1(舍去).综上,m的取值范围为-1m53.4.已知f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x(0,+),使f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2(lnx+1),令f(x)=0,得x=1e,当x0,1e时,f(x)0,所以f(x)在0,1e上单调递减;在1e,+上单调递增.(2)存在x(0,+),使f(x)g(x)成立,即2xlnx-x2+ax-3在x(0,+)成立,等价于a2lnx+x+3x在x(0,+)成立,等价于a2lnx+x+3xmin.记h(x)=2lnx+x+3x,x(0,+),则h(x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2.当x(0,1)时,h(x)0,所以当x=1时,h(x)取最小值为4,故a4.5.已知函数f(x)=ln x+ax.(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,求实数a和m的值;(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,求实数a的取值范围.解函数定义域为(0,+)(1)f(x)=lnx+ax,f(x)=1x+a.函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,f(1)=1+a=2,得a=1.又f(1)=ln1+a=1,函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,m=-1.(2)由(1)知f(x)=1x+a=1+axx(x0).当a0时,f(x)=1+axx0,函数f(x)=lnx+ax在(0,+)上单调递增,从而函数f(x)至多有一个零点,不符合题意;当a0),函数f(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,+上单调递减,函数f(x)max=f-1a=ln-1a+a-1a=ln-1a-1.要满足函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,必有f(x)max=ln-1a-10,得a-1e.实数a的取值范围是-1e,0.6.(2018浙江湖州2模)已知函数f(x)=1-e-xx(x0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:f(x)e-x2(x0).(1)解已知函数f(x)=1-e-xx(x0),其导函数为f(x)=1+x-exx2ex.令h(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x0时,h(x)=ex-10时,h(x)=ex-10,所以h(x)min=h(0)=0,即exx+1,当且仅当x=0时等号成立.由已知x0,得exx+1,1+x-exx2ex0,所以f(x)e-x2(x0)等价于e-x+xe-x2-10).令g(x)=e-x+xe-x2-1,x0,g(x)=-e-x+e-x2+x-12e-x2=-e-x2e-x2-x2+1,由(1)易得e-x2-x2+1,所以g(x)0时,有g(x)g(0)=0,即e-x+xe-x2-10).故f(x)e-x2(x0).4