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专题能力训练12空间几何体专题能力训练第30页一、能力突破训练1.球的体积为43,平面截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面的距离为()A.1B.2C.3D.6答案:B解析:依题意,设该球的半径为R,则有43R3=43,解得R=3,因此球心O到平面的距离d=R2-12=2.2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4答案:B解析:设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.r=12-122=32.圆柱的体积为V=r2h=341=34.故选B.3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且BPPD1=12,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为()A.1B.32C.92D.与M点的位置有关答案:B解析:BPPD1=12,点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的13,即为D1C13=1.M为线段B1C1上的点,SMBC=1233=92,VM-PBC=VP-MBC=13921=32.4.已知平面截球O的球面得圆M,过圆心的平面与的夹角为6,且平面截球O的球面得圆N.已知球的半径为5,圆M的面积为9,则圆N的半径为()A.3B.13C.4D.21答案:B解析:如图,OA=5,AM=3,OM=4.NMO=3,ON=OMsin3=23.又OB=5,NB=OB2-ON2=13,故选B.5.已知三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3,AB=2,AC=1,BAC=60,则此球的表面积是()A.2B.4C.8D.10答案:C解析:根据余弦定理可知,BC=3,则ACB=90.如图,点E,F分别是斜边AB,AB的中点,点O为EF的中点,则点O为三棱柱外接球的球心,连接OA.设三棱柱的高为h,V=1213h=3,解得h=2,R2=OA2=12AB2+12h2,代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面积为S=4R2=8.6.已知三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中,AB=CD=4,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为()A.43B.83C.163D.323答案:C解析:如图,过CD作平面ECD,使AB平面ECD,交AB于点E,设点E到CD的距离为EF,当球心在EF上时,EF最大,此时E,F分别为AB,CD的中点,且球心O为EF的中点,所以EF=2,所以Vmax=1312424=163,故选C.7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为.答案:772解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分别为x,y,z,则x2+y2+z2=772,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4R2=772.8.如图所示,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为.答案:1403解析:由题知,旋转一周后形成的几何体是一个圆台去掉一个半球,其中圆台的体积为V=13(22+2252+52)4=52,半球的体积V=124323=163,则所求体积为52-163=1403.9.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为.答案:402解析:设O为底面圆圆心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12|AS|BS|158=515.SA2=80.SA=45.SA与圆锥底面所成的角为45,SOA=90,SO=OA=22SA=210.S圆锥侧=rl=45210=402.10.已知正四棱锥P-ABCD中,PA=23,则当该正四棱锥的体积最大时,它的高h等于.答案:2解析:设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,PA=23,2a22+h2=12,即a22+h2=12,故a2=24-2h2,正四棱锥P-ABCD的体积V=13a2h=8h-23h3(h0),V=8-2h2.令V0,得0h2,令V2,当h=2时,正四棱锥P-ABCD的体积取得最大值.11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9779也正确.12.如图所示,等腰三角形ABC的底边AB=66,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EFAB,现沿EF将BEF折起到PEF的位置,使PEAE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积,求V(x)的最大值.解:因为PEEF,PEAE,EFAE=E,所以PE平面ABC.因为CDAB,FEAB,所以EFCD,所以EFCD=BEBD,即EF3=x36,所以EF=x6,所以SABC=12663=96,SBEF=12xx6=612x2,所以V(x)=1396-612x2x=63x9-112x2(0x0,V(x)单调递增;当6x36时,V(x)0,V(x)单调递减,因此当x=6时,V(x)取得最大值126.二、思维提升训练13.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.答案:32解析:设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故V1V2=r22r43r3=32,答案为32.14.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案:415解析:如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=36BC.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因为SABC=1223x3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13SABCh=3x225-10x=325x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在2,52单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱锥体积的最大值为415.15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积为.答案:64解析:如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2,BAC=60,所以BC=3,所以ABC=90.所以ABC截球O所得的圆O的半径r=1.设OO=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=(215-x)2+1,解得x=15,R2=(15)2+12,R=4.所以球O的表面积为4R2=64.16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.(1)证明:AD平面DBC;(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?(1)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,则DH平面ABC,得DHBC.又ABBC,ABDH=H,所以BC平面ADB,故ADBC.又ADDC,DCBC=C,所以AD平面DBC.(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,则VD-ABC=13R(SABC+SDBC+SDAC+SDAB).由已知可得SABC=SADC=6.过点D作DGAC于点G,连接GH,如图,可知HGAC.易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,SDAB=124374=372.在DAB和BCD中,因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以DABBCD,故SDBC=372,VD-ABC=136374=372.则R36+372+6+372=372,于是(4+7)R=372,所以R=372(4+7)=47-76.- 9 -
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