（江苏专版）2019年高考数学 母题题源系列 专题07 双曲线（含解析）

专题07双曲线【母题来源一】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.【母题来源二】【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，【母题来源三】【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是_【答案】【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，所以四边形的面积【名师点睛】（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点【命题意图】通过了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，结合数形结合的思想考查它的简单几何性质以及双曲线的简单应用.【命题规律】双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，难度中档，注重对计算能力以及数形结合思想的考查.从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）对双曲线定义与方程的考查；（2）对双曲线简单几何性质的考查，如求双曲线的渐近线、准线、离心率等；（3）双曲线与其他知识的综合，如平面几何、向量、直线与圆等【方法总结】（一）对双曲线的定义与标准方程必须掌握以下内容：（1）在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件（2）求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.（3）在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.（4）常见双曲线方程的设法：与双曲线(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程可设为若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或与双曲线(a0，b0)共焦点的双曲线方程可设为过两个已知点的双曲线的标准方程可设为与椭圆(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为（二）对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a，b的关系，结合已知条件可解.（三）求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.（四）求解双曲线的离心率的范围的方法：一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.1【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】已知双曲线，则点到的渐近线的距离为_【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：y=x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：=故答案为：.【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式得到结果.2【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知双曲线C的方程为，则其离心率为_【答案】【解析】由双曲线C的方程可得：，所以，所以.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题.求解时，由双曲线C的方程可求得，问题得解.3【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】若双曲线的离心率为，则实数的值为_【答案】1【解析】因为代表双曲线，所以，且，所以，解出，故答案为：1.【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.求解时，先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.4【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知双曲线的左准线与轴的交点为点，则点到其中一条渐近线的距离为_【答案】【解析】由题意得，左准线方程为，所以，又渐近线方程为：，所以到渐近线的距离为，故填.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，要求能从标准方程中得到，并计算出准线方程、渐近线方程等，此类问题是基础题.求解时，先求出左准线方程，从而得到的坐标，利用公式可计算它到渐近线的距离.5【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为_【答案】4【解析】因为双曲线的离心率为，所以，即，解得，所以该双曲线的焦距为.故答案为4.【名师点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.求解时，先由离心率求出，进而可求出焦距.6【江苏省师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为_【答案】【解析】根据题意，双曲线的渐近线方程为yx，又由该双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即yx，则有，即a2b，所以cb，故该双曲线的离心率e.故答案为：7【江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为_【答案】2【解析】由题意得，右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx2y0，根据点到直线的距离公式得，可得b2，故答案为2.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距离是关键，是基础题.8【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】渐近线方程为：，由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等，取渐近线，焦点，渐近线方程为：，本题正确结果：.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.求解时，由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.8【江苏省前黄高级中学、溧阳中学2018-2019学年上学期第二次阶段检测数学试题】在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数_【答案】【解析】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为y=，渐近线与直线平行，故答案为：【名师点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的标准方程和直线平行的性质等基础知识，属于基础题9【江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试数学试卷】已知倾斜角为的直线l的斜率等于双曲线的离心率，则_【答案】【解析】双曲线的离心率，为直线的倾斜角，sin=2sin=，故答案为：.【名师点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan，再利用三角函数的倍角公式得出结果即可，属于基础题.由题意知，tan=，sin，利用三角函数关系得出结果即可.10【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟数学试题】若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为_【答案】【解析】抛物线x24y的焦点坐标为（0，1），双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线方程为yx，e3，故答案为：3【名师点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题.求解时，先求出抛物线x24y的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为yx，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出11【江苏省连云港市2019届高三上学期期中考试数学试题】已知双曲线的一条渐近线被圆C:截得的线段长为，则_【答案】2【解析】由于双曲线为等轴双曲线，故渐近线方程为，不妨设渐近线为.圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为.故弦长为，解得.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长公式.对于双曲线，渐近线为，对于双曲线，渐近线为.直线和圆相交所得弦长的弦长公式为，其中为圆心到直线的距离.12【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_【答案】【解析】双曲线的右顶点为：，渐近线为：，依题意有：，解得：，双曲线的方程为：，本题正确结果：.【名师点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.13【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】过原点的倾斜角为的直线方程为，解方程组：或则，因为以线段为直径的圆过右焦点，所以，因此有，结合，化简得，所以有，解得.【名师点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，解题的关键是利用已知条件构造向量式，利用求出双曲线的离心，考查了数学运算能力.其实本题也可以根据平面几何图形的性质入手，由双曲线和直线的对称性，以线段为直径的圆过右焦点，显然，直线的倾斜角为，这样可以求出的坐标，代入双曲线方程中，也可以求出双曲线的离心率.14【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点若AOB的面积为，则该双曲线的离心率为_【答案】2【解析】由题可得：双曲线（）的右准线方程为：，两条渐近线方程分别，由可得：，由双曲线的对称性可得：，所以AOB的面积为，整理得：，即，所以该双曲线的离心率为.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，还考查了方程思想及三角形面积公式，考查转化能力，属于中档题.求解时，由双曲线的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点可求得：，再由AOB的面积为列方程整理得：，问题得解.15【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】设点A(x，y)，因为，所以x(1)=5，所以x=4.所以点A(4，4)，由题得即即所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【名师点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.求解时，设点A(x，y)，根据求出点A的坐标，再把点A的坐标代入双曲线的方程求出，再求双曲线的渐近线方程.12