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单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东、湖北部分重点中学模拟五,3)若2m2n,则下列结论一定成立的是()A.1m1nB.m|m|n|n|C.ln(m-n)0D.m-n0的解集为xx12,则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.x-13x12B.xx12C.x|-3x2D.x|x23.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积之比为18D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2018河南中原名校质检三,3)下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=sin x+1sinx,x0,2C.y=x2+3x2+2D.y=x+4x-1-3,x15.(2019广东化州一模,9)已知实数x,y满足x+y10,x-y+20,x0,y0,则z=x+y2的最大值为()A.7B.1C.10D.06.(2018辽宁凌源二中三模,8)大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文7.(2019届湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-38.(2019届四川成都石室中学模拟,8)已知a0,实数x,y满足x1,x+y3,ya(x-3),若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-32D.-1或19.(2018吉林梅河口五中三模,7)用数学归纳法证明“1+2+3+n3=n6+n32,nN+”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的两边加上()A.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.(k+1)6+(k+1)3210.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件11.已知实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40,若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.8912.(2018山东日照联考,7)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.已知抛物线y=ax2+2x-a-1(aR)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m0,n0)上,则1m+1n的最小值为.15.(2018四川广元适应性统考,15)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=43r3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8r3,则其四维测度W=.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.参考答案单元质检卷七不等式、推理与证明1.B由2m2n知mn.取m=2,n=1,1211不成立,排除选项A;由ln(2-1)=0知选项C不成立;由2-1=1知选项D错,故选B.2.C由题意知a0,且12,-13是方程ax2-5x+b=0的两根,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,bx2-5x+a=-5x2-5x+300,即x2+x-60,解得-3x0.对于B:不能保证sin x=1;对于C:不能保证x2+2=1;对于D:x1,y=x+4x-1-3=x-1+4x-1-22(x-1)4x-1-2=4-2=2,当且仅当x-1=4x-1,即x=3时等号成立,故选D.5.C由约束条件x+y10,x-y+20,x0,y0作出可行域如图,由题得A(10,0),化目标函数z=x+y2为y=-2x+2z,由图可知,当直线y=-2x+2z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为10.故选C.6.C小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中,小杨不任教语文,所以只有小蔡被分配到一中任教语文,小杨没有被分配到二中,也没有被分配到一中,所以只能被分配到三中,且任教数学,所以只能小徐被分配到二中,且任教英语,故选C.7.B作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2.此时目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件;若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,综上所述,故选B.8.B作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图像可知当直线y=-3x+z经过点C时直线y=-3x+z的截距最小,此时z最小.即3x+y=1,由x=1,3x+y=1,解得x=1,y=-2,即C(1,-2),点C也在直线y=a(x-3)上,-2=-2a,解得a=1.故选B.9.A当n=k时,等式左端=1+2+k3,当n=k+1时,等式左端=1+2+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+(k+1)3.故选A.10.B设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=800x+x82800xx8=20,当且仅当800x=x8(x0),即x=80时等号成立,故选B.11.D实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40,的可行域如图阴影部分所示.因为a0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与(-1,-1)连线的斜率最小,由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.12.C从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力,故A错.乙的创造力为3,观察能力为4,乙的观察能力优于创造力,故B错.甲的六大能力总和为25,乙的六大能力总和为24,故甲的六大能力整体水平优于乙,故C正确.甲的六大能力中,推理能力为3,为最差能力,故D错.综上,故选C.13.F+V-E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.12抛物线y=ax2+2x-a-1(aR)恒过第三象限上一定点A,A(-1,-3),m+n=13,又1m+1n=3(m+n)m+3(m+n)n=6+3nm+mn6+6nmmn=12,当且仅当m=n=16时等号成立.15.2r4由题意得,二维空间中,二维测度的导数为一维测度;三维空间中,三维测度的导数为二维测度.由此归纳,在四维空间中,四维测度的导数为三维测度,故W=2r4.16.1 000由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.7
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