（名师导学）2020版高考数学总复习 第十章 直线与圆、圆锥曲线 第65讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理（含解析）新人教A版

第65讲直线与圆、圆与圆的位置关系夯实基础【p148】【学习目标】能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想【基础检测】1两圆C1：x2y21和C2：x2y24x50的位置关系是()A相交B内切C外切D外离【解析】由圆C1：x2y21的圆心为(0，0)，半径为1，圆C2：x2y24x50圆心为(2，0)，半径为3，所以圆心距为2，此时231，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切【答案】B2过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由题意得直线l斜率存在，设为k，则直线l：y1k(x)，kxyk10，由直线l与圆x2y21有公共点得1，2k22k0，0k，从而倾斜角取值范围是.【答案】D3已知直线l1：yx1与l2：yxm之间的距离为2，则直线l2被圆C：(x1)2y28截得的弦长为()A4B3C2D1【解析】由条件可知，直线l1过圆心C：(1，0)，则圆心C到直线l2的距离等于直线l1与l2之间的距离2，故直线l2被圆C截得的弦长为24.【答案】A4点P是直线xy30上的动点，由点P向圆O：x2y24作切线，则切线长的最小值为()A2B.C.D.【解析】圆O：x2y24，圆心O(0，0)，半径r2.由题意可知，点P到圆O：x2y24的切线长最小时，OP垂直直线xy30.圆心到直线的距离d，切线长的最小值为.【答案】C5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_【解析】由得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2.【答案】2【知识要点】1直线和圆的位置关系有三种：_相交、相切、相离_2直线l：AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法有：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线AxByC0的距离d_和圆的半径r的大小关系：d_r直线与圆相离(2)代数方法：由消元，得到的一元二次方程的判别式为，则_0直线与圆相交；_0直线与圆相切；_0)与(xa2)2(yb2)2r(r20)的圆心距为d，则dr1r2两圆_相离_；dr1r2两圆_外切_；|r1r2|dr1r2两圆_相交_；d|r1r2|(r1r2)两圆_内切_；0d|r1r2|(r1r2)两圆_内含_(d0时为同心圆)(2)代数方法：方程组有两组不同的实数解两圆_相交_；有两组相同的实数解两圆_相切_；无实数解两圆_相离_或_内含_5直线被圆截得的弦长(1)过圆x2y2r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程是_x0xy0yr2_(2)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(3)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB|xAxB|.典例剖析【p149】考点1直线与圆的位置关系(1)若直线l：ykx1(k0)与圆C：(x2)2(y1)22相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定【解析】因为直线l：ykx1(k0)与圆C：(x2)2(y1)22相切，所以，解得k1，因为k0)，根据题意可知圆的半径是a，根据题意有圆心到直线的距离等于半径，得到a，解得a6，所以圆C的方程是(x6)2y236，即x2y212x0，与直线xym0联立，化简得2x2(122m)xm20，(122m)28m24m248m1440，解得66m66，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1x2m6，x1x2，因为PMPN，所以0，即(x1，y11)(x2，y21)0，从而有m25m50，解得m，经检验，两个值都可以【答案】【点评】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题考点2弦长问题已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长【解析】法一：(1)由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(4k2)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|222，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二：(1)直线l过定点E(0，1)，且点E在圆C内，故不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)易知当l垂直于CE时，弦长最短，kCE2，k，l：yx1，圆心到直线距离d.|AB|222.【点评】处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形考点3圆的切线问题(1)过点P(2，4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.【答案】x2或4x3y40(2)已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程与直线l1：xy40平行；与直线l2：x2y40垂直；过切点A(4，1)【解析】设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120；设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50；kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.【点评】圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题考点4圆与圆的位置关系(1)若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，则ab的最大值为()A.B2C4D2【解析】圆C1：x2y22axa290(aR)，化为(xa)2y29，圆心坐标为(a，0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1，圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.【答案】B(2)求过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程【解析】由得2xy0，代入得x1，x21，两圆的两个交点为，(1，2)过两交点的圆中，以，(1，2)为端点的线段为直径的圆，面积最小该圆圆心为，半径为，圆方程为.【点评】圆的公共弦方程是两个圆的方程化为二次系数一致时相减而得到的，以公共弦为直径的圆的方程利用过两圆交点的圆系方程的圆心坐标适合公共弦方程而确定待定系数方法总结【p150】1处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出(2)代数方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得)3求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数方法：运用韦达定理弦长|AB|.4注意利用圆的几何性质解题如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题走进高考【p150】1(2018天津)已知圆x2y22x0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为_【解析】直线的普通方程为xy20，圆的标准方程为(x1)2y21，圆心为C(1，0)，半径为1，点C到直线xy20的距离d，所以|AB|2，所以SABC.【答案】2(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线x轴交于C，D两点，若|AB|2，则|CD|_【解析】法一：直接法圆x2y212的圆心为O，半径为2.由点到直线的距离公式得3，解得m，从而直线l的斜率km，因此直线l的倾斜角为30，据题意画出右图，可知|CD|4.法二：几何法由题意解得m(同法一)，从而直线l的方程为xy20，联立方程解得xA3，xB0.从而B(0，2)，又直线l的斜率km，直线km与BD与l垂直，所以直线的方程为yx2，令y0，解得xD2，由下图易知点C与点D关于点O对称，所以xC2，因此|CD|xDxC|4.法三：解析法如下图，直线l与圆x2y212交于A，B两点，且|AB|2，d3，3，解得m.直线l即：xy60.联立解得或即A(3，)，B(0，2)，直线AC的方程为：xy20，令y0得C(2，0)，同理得D(2，0)，|CD|4.考点集训【p261】A组题1圆x2y240与圆x2y22x0的位置关系是()A相离B相交C内切D内含【解析】将圆x2y240和圆x2y22x0写成标准方程为：x2y24和(x1)2y21，两圆心的距离为1，两半径分别为1和2，圆心距等于半径之差，故内切，选C.【答案】C2直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|()A.B2C2D4【解析】化圆x2y22y30为x2(y1)24，可得圆心坐标为(0，1)，半径为2，圆心到直线yx1的距离d，|AB|22.【答案】B3圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()Axy10B2xy10Cx2y10Dxy10【解析】圆x2y22x50的圆心为M(1，0)，圆x2y22x4y40的圆心为N(1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为，即xy10.【答案】A4设圆心在x轴上的圆C与直线l1：xy10相切，且与直线l2：xy0相交于两点M，N，若|MN|，则圆C的半径为()A.B.C1D.【解析】圆心在x轴上的圆C与直线l1：xy10相切，且与直线l2：xy0相交于两点M，N，两条直线平行，平行线之间的距离d，设圆C的半径为r，由|MN|，可得r2，解得r1，故圆C的半径为1.【答案】C5已知点A，B，若圆C：r2(r0)与以线段AB为直径的圆相外切，则实数r的值是_【解析】A，B，则2，AB中点为：.以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为.圆C与以线段AB为直径的圆相外切，所以圆心距5r.所以r5.【答案】56过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_【解析】由题意，圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示P(1，)，PAx轴，PAPB.POA为直角三角形，其中OA1，AP，则OP2，OPA30，APB60.|cosAPBcos60.【答案】7已知曲线C：x，直线l：x6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，则m的取值范围为_【解析】曲线C：x，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP2，0，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x6，m2，3【答案】2，38已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆截得的弦长最小时l的方程，并求此时的弦长【解析】(1)将l的方程整理为(xy4)m(2xy7)0.由得直线l过定点A(3，1)(31)2(12)2525，点A在圆C的内部，故直线l与圆恒有两个交点(2)圆心为O(1，2)，当截得的弦长最小时，lAO.由kAO，得l的方程为y12(x3)，即2xy50.此时的弦长为24.B组题1圆：x2y22axa290和圆：x2y24by14b20有三条公切线，若aR，bR，且ab0，则的最小值为()A1B3C4D5【解析】由题意得，因为两圆有三条公切线，所以两圆相外切，又圆x2y22axa290的圆心坐标C1(a，0)，半径为R3，圆x2y24by14b20的圆心坐标C2(0，2b)，半径为r1，所以圆心距为|C1C2|31a24b216，所以(a24b2)1，当且仅当a2b时等号成立，所以的最小值为1.【答案】A2已知直线l：xy1与圆M：x2y22x2y10相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为_【解析】把圆M：x2y22x2y10化为标准方程：(x1)2(y1)23，圆心(1，1)，半径r.直线与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d，由勾股定理得半弦长，所以弦长|AC|2.又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形ABC和ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S|AC|BE|AC|DE|AC|BD|2.【答案】3已知圆C：x2y22x4y30.(1)若直线l过点(2，0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|PO|，求|PM|的最小值【解析】(1)x2y22x4y30可化为(x1)2(y2)22，当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，易求直线l与圆C的交点为A(2，1)，B(2，3)，|AB|2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x2)，即kxy2k0，则圆心C到直线l的距离d1，解得k，所以直线l的方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CMPM，所以PMC为直角三角形，所以|PM|2|PC|2|MC|2.设P(x，y)，由(1)知C(1，2)，|MC|，因为|PM|PO|，所以(x1)2(y2)22x2y2，化简得点P的轨迹方程为2x4y30.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x4y30的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为.4已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.【解析】(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围是.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.备课札记17