（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第6讲 立体几何中的计算练习

第6讲 立体几何中的计算A级高考保分练1若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为_解析：由题意，得圆锥的母线长l，所以S圆锥侧rl1.答案：2已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2，于是其体积V226636 (cm)3.答案：363(2019南京学情调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，则四棱锥A1B1C1CB的体积是_解析：如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V四棱锥A1B1C1CBS矩形BB1C1CA1E(23)2.答案： 24(2019常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为_解析：设圆锥底面半径为2r，高为2h，则圆柱底面圆半径为r，高为h，所以.答案：5(2019苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_解析：正三棱锥的底面正三角形的边长为22cos 302，底面正三角形的面积S22sin 603，三棱锥的高h2.所以正三棱锥的体积V322.答案：26已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为_解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R2，则球O的体积VR3.答案：7(2019姜堰中学检测)已知矩形ABCD，AB1，AD，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体PBCE的外接球表面积为_解析：在几何体PBCE中，PBPC，PBPE，PCPE，即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径，即2r，故r，外接球的表面积为4.答案： 8已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为_解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l，0r1.圆柱的侧面积为S2rl2r42r2(1r2)2，当且仅当r21r2，即r时取“”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2.答案：29有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b,1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为_解析：设所得新长方体的高为h.根据题意，得所以h，当且仅当2ab，即a1，b2时取等号故所得新长方体高的最大值为.答案：10.(2019苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R，得4R230.从而S球面4R230.答案：3011已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积解：设等边圆柱的底面半径为r，则高h2r.因为SS侧2S底2rh2r26r2，所以r，所以内接正四棱柱的底面边长a2rsin 45r，所以内接正四棱柱的体积VS底h(r)22r4r3.12.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EFAB，BCFD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)证明：PQ平面ABCD；(2)若CDBE，EFEC1，CD2EFBC，求五面体ABCDFE的体积解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以ADBC.又AD平面ADF，BC平面ADF，所以BC平面ADF.又BC平面 BCPQ，平面BCPQ平面ADFPQ，所以BCPQ.又PQ平面ABCD，BC平面ABCD，所以PQ平面ABCD.(2)由CDBE，CDCB，易证CDCE.由BCCD，BCFD，易证BC平面CDFE，所以CBCE，即CD，CE，CB两两垂直如图，连接FB，FC，因为EFEC1，CD2EFBC，所以CD2，BC3，V四棱锥FABCD(23)12，V三棱锥FBCE1，所以VABCDFEV四棱锥FABCDV三棱锥FBCE2.B级难点突破练1已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为_解析：如图，ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则ADBC，由题意知，AOBOR，BD1，AD，则在RtBOD中，有R2(R)212，解得R，所以外接球O的表面积 S4R2.答案：2. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm3.解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为，所以注水高为1.故应注水体积为43.答案：3如图所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积解：(1)证明：在题图中，因为AC6，BC3，ABC90，所以ACB60.因为CD为ACB的平分线，所以BCDACD30，所以CD2.又因为CE4，DCE30，所以DE2.则CD2DE2CE2，所以CDE90，即DECD.在题图中，因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在题图中，因为EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，所以EFBG.因为点E在线段AC上，CE4，点F是AB的中点，所以AEEGCG2.过点B作BHCD交于点H.因为平面BCD平面ACD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.由条件得BH.又SDEGSACDACCDsin 30，所以三棱锥BDEG的体积为VSDEGBH.4.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积，求该三棱锥EACD的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以BEAC.因为BDBEB，BD 平面BED，BE 平面BED，所以AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.- 7 -