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第10讲 圆锥曲线中定点、定值问题1.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值解：(1)由e，得a2b，所以椭圆C的方程为1.把P(2，1)的坐标代入，得b22，所以椭圆C的方程是1.(2)证明：由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数设直线PA的方程为y1k(x2)，其中k0.由消去y，得x24kx(2k1)28，即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280.因为该方程的两根为2，xA，所以2xA，即xA.从而yA.把k换成k，得xB，yB.计算，得kAB，是定值2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解：(1)由题意得a21，a，又bc，a2b2c2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)得M(0,1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得(12k2)x24kmx2m220，则8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.由k1k22，得2，即2，(22k)x1x2(m1)(x1x2)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由m1，得(1k)(m1)km，mk1，即ykxmkxk1k(x1)1，故直线AB过定点(1，1)，经检验，当k0或kb0)，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设点P为椭圆C2上的一点射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1k2为定值解：(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a2，a2b2c2，解得b，因此椭圆C2的标准方程为1.(2)证明：当直线OP斜率不存在时，PA1，PB1，则32.当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为ykx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21)x24，所以x，同理x.所以x2x，由题意，xP与xA同号，所以xPxA，从而32.所以32为定值设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为yy0k1(xx0)，即yk1xk1x0y0，记tk1x0y0，则l1的方程为yk1xt，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k1)x28k1tx4t240，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以(8k1t)24(4k1)(4t24)0，即4kt210，将tk1x0y0代入上式，整理得，(x4)k2x0y0k1y10，同理可得，(x4)k2x0y0k2y10，所以k1，k2为关于k的方程(x4)k22x0y0ky10的两根，从而k1k2.又点P(x0，y0)在椭圆C2：1上，所以y2x，所以k1k2为定值4在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)上的点到两个焦点的距离之和为4，椭圆C的离心率为，A为椭圆C的左顶点(1)求椭圆C的方程；(2)圆M：x2(y2)2r2(0r2)当r1时，过点A作直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ，求直线l的方程；当r变化时，过点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于点B和点D，证明直线BD恒过定点解：(1)由题意，得解得所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知，A(2,0)当r1时，圆M：x2(y2)21，易知直线l的斜率存在且不等于0，设直线l：ykl(x2)(kl0)，则圆心M到直线l的距离d，PQ22，化简得2k5kl20，解得kl2或kl.所以直线l的方程为y2x4或yx1.证明：由题意可设过点A的圆M的切线方程为yk(x2)(k0)，则圆心M到切线的距离为r，得(4r2)k28k4r20，设切线AB，AD的斜率分别为k1，k2，则k1,2，k1k21.由得(14k2)x216k2x16k240，解得x或x2.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1，y1，x2，y2，则kBD.所以直线BD的方程为y，化简得y，所以直线BD恒过定点.5已知椭圆：1(ab0)经过点M(2,1)，且右焦点F(，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆于A，B两点，记tMM，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，证明t1t2为定值解：(1)由椭圆1的右焦点为(，0)，知a2b23，即b2a23，则1，a23.又椭圆过点M(2,1)，1，a23，a26.椭圆的标准方程为1.(2)证明：设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24k2x2k260，点N(1,0)在椭圆内部，0，则tMM(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5，将代入得，t(1k2)(2k2k)k22k5，t，(152t)k22k1t0，kR，则1224(152t)(1t)0，(2t15)(t1)10，即2t213t160，由题意知t1，t2是2t213t160的两根，t1t2.t1t2为定值- 6 -
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