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8-7 抛物线课时规范练A组基础对点练1抛物线y4x2的焦点坐标是(C)A. B.(1,0)C. D.(0,1)2已知点F是抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为(B)A4 B.3C2 D.13(2018桂林、百色、崇左联考)若角终边上的点A(，a)在抛物线x24y的准线上，则cos 2(A)A. B.C D.解析：抛物线x24y的准线方程为y1.因为点A(，a)在抛物线的准线上，所以a1，即A(，1)根据三角函数的定义可得cos ，所以cos 22cos21，故选A .4已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|(C)A. B.C3 D.25(2018太原模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|BF|AB|，则AFB的最大值为(D)A. B.C. D.解析：在AFB中，由余弦定理得cos AFB11.又|AF|BF|AB|2，所以|AF|BF|AB|2，所以cos AFB1，所以AFB的最大值为.故选D .6已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为(A)A3 B.4C5 D.17(2016高考浙江卷)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9_.8(2018成都诊断检测)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PFx轴若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则p的值为2.解析：由题意可得F，A，P，所以|AF|PF|p，所以AFP是等腰直角三角形，所以以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为|AF|2，所以p2.9(2018郑州模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析：(1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，解得p2，故抛物线的方程为y24x.(2)由(1)中(*)可化为y24my80，得y1y24m，y1y28，设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，即m，所以直线l的方程为xy20或xy20.B组能力提升练1已知抛物线y26x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PA|2，则直线AF的倾斜角为(D)A. B.C. D.解析：由抛物线方程得F.|PF|PA|2，P点的横坐标为2.P在抛物线上，且在第一象限，点P的纵坐标为，点A的坐标为，AF的斜率为，AF的倾斜角为，故选D.2已知点F是抛物线C：yax2(a0)的焦点，点A在抛物线C上，则以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是(C)A相离 B.相交C相切 D.无法确定解析：抛物线C的标准方程为x2y(a0)，焦点为F.过点A作准线y的垂线，垂足为A1，AA1交x轴于点A2(图略)，根据抛物线的定义得|AA1|AF|.由梯形中位线定理得线段AF的中点到x轴的距离为d(|OF|AA2|)|AF|，故以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是相切，故选C.3(2018石家庄模拟)已知抛物线C：yx2的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，AMF的面积为(A)A2 B.1C2 D.4解析：如图所示，过点M作MMl，垂足为M，由抛物线的定义可知，|MF|MM|.因为，所以sin MAM，则MAM45，所以MAM为等腰直角三角形，所以|MM|MA|MF|.在AMF中，MAF45，由正弦定理得，所以sin MFAsin MAF1，所以MFA90，所以MFMA.又|MF|MA|MM|，所以四边形AMMF为正方形，则|AF|MF|2，所以AMF的面积S222，故选A .4已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|(B)A3 B.6C9 D.12解析：因为抛物线C：y28x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x2.设椭圆E的方程为1(ab0)，所以椭圆E的半焦距c2.又椭圆E的离心率为，所以a4，b2，椭圆E的方程为1，联立，解得A(2,3)，B(2，3)，或A(2，3)，B(2，3)，所以|AB|6，故选B.5抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p(D)A. B.C. D.解析：由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为yx，设M，则利用求导得切线的斜率为，pt.易知抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点，(2,0)，共线，即点，(2,0)，共线，所以，解得t，所以p.6过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_8_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1，联立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.7抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p2.解析：易得双曲线y2x21过点，从而1，所以p2.8已知直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_t0或t0，得t0或t0)，所以a1.11(2016高考全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解析：由题知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.12(2018武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程解析：(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.又x22py得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，yANx.同理yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.9
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