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第5讲 数学归纳法1已知数列an满足a10，a21，当nN*时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN*)能被3整除证明：(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除命题也成立由(1)和(2)知，对于nN*，数列an中的第4m1项能被3整除2设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值(2)求数列an的通项公式解：(1)由已知得解得a13，a25，a37.(2)猜测an2n1.由Sn2nan13n24n得Sn12(n1)an3(n1)24(n1)(n2)，当n2时，anSnSn1，所以两式相减，整理得an2nan12(n1)an6n1，an1an，又a25，a13，满足式子，建立了an与an1的递推关系(nN*)下面用数学归纳法证明：an2n1.当n1时，a13，成立假设nk时成立，即ak2k1成立，那么nk1时，ak1ak(2k1)2k32(k1)1，所以当nk1时也成立由可知，对于nN*，有an2n1，所以数列an的通项公式为an2n1.3已知数列an满足an(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)对任意正整数n，an小数点后第一位数字是多少？请说明理由解：(1)a1，a2，a3.(2)a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6.下证：对任意正整数n(n3)，均有0.6an0.7，注意到an1an0，故对任意正整数n(n3)，有ana30.6.下面用数学归纳法证明：对任意正整数n(n3)，有an0.7.当n3时，有a30.70.70.7，命题成立；假设当nk(kN*，k3)时，命题成立，即ak0.7，则当nk1时，ak1ak0.7.0，ak10.70.7，nk1时，命题也成立；综合可知，任意正整数n(n3)，an0.7.由此，对正整数n(n3)，0.6an0.7，此时an小数点后第一位数字均为6.所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n3，nN*时，an小数点后第一位数字均为6.4(2019启东联考)已知函数f(x)x2axln(x1)(aR)(1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f(x)x，求实数a的取值范围；(2)已知c10，且cn1f(cn)(n1,2，)，在(1)的条件下，证明数列cn是单调递增数列解：(1)因为f(x)2xa，由f(x)x，得2xax，即ax(0x1)又yxx111(因为x11)，所以a1，即实数a的取值范围为(，1)(2)证明：当n1时，c2f(c1)2c1a，又因为c10, 所以c111，且a1，所以c2c1c1ac11(a1)2(a1)1a0.所以c2c1，即当n1时结论成立假设当nk(kN*)时，有ck1ck，且ck0，则当nk1时，ck2ck1ck1ack11(a1)2(a1)1a0.所以ck2ck1，即当nk1时结论成立由知数列cn是单调递增数列5猜想：集合Mx|xn，xN*(nN*)的所有子集均可排成一行，使得任意两个相邻子集的元素个数相差1.请你分别取n1,2,3加以验证，并判断猜想是否对任意的正整数n都成立，若不是，请说明理由；若是，请给出证明解：当n1时，M1的2个子集排成一行：，1，元素个数相差1，成立；当n2时，M1,2的4个子集排成一行：，1，1,2，2，任意两个相邻的子集的元素个数相差1，猜想成立；当n3时，M1,2,3的8个子集排成一行：，1，1,2，2，2,3，1,2,3，1,3，3，任意两个相邻的子集的元素个数相差1，猜想成立，对任意的正整数n，猜想成立，证明如下：当n1时，已证；假设当nk(kN*)时，集合M1,2，k的2k个子集排成一行：M1，M2，M2k，任意两个相邻子集的元素个数相差1.则当nk1时，集合M1,2，k，k1的2k1个子集排成一行：M1，M2，M2k，M2kk1，M2k1，M1k1，任意两个相邻的子集的元素个数相差1, 故当nk1时，结论也成立由知，猜想成立- 4 -
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