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8-10 圆锥曲线的综合问题课时规范练(授课提示：对应学生用书第317页)A组基础对点练1已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.2(2016高考北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值解析：(1)由题意得解得a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设P(x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN|.所以|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值3已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去，存在满足条件的直线l，其方程为yx.4(2018广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，a)到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点M(b,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是否过定点？并说明理由解析：(1)由题意设抛物线方程为y22px(p0)，其准线方程为x，P(4，a)到焦点的距离等于P到准线的距离，45，p2.抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为xmyt，联立得y24my4t0，则16m216t0.(*)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t.(x14，y14)(x24，y24)x1x24(x1x2)16y1y24(y1y2)16416y1y24(y1y2)16(y1y2)23y1y24(y1y2)32t216m212t16m320，即t212t3216m216m，得(t6)24(2m1)2，t62(2m1)，即t4m8或t4m4，代入(*)式检验知t4m8满足0，当t4m4时，直线DE过点M，不合题意，舍去直线DE的方程为xmy4m8m(y4)8.直线过定点(8，4)B组能力提升练1(2017高考浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解析：(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为xb0)，则e，c1，故a22，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意，故直线BC的斜率存在设直线BC的方程为ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，得2k2m210.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，由kABkAC，得4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1，所以m3，此时直线BC的方程为ykx3.所以直线BC恒过一定点(0,3)3(2017湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21，得a2，a2，b1.(2)存在由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由根与系数的关系，得xp，从而yp，点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)以PQ为直径的圆恰好过点A，APAQ，0，即k4(k2)0.k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意故直线l的方程为8x3y80.4已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1，上顶点为D，直线DF1与椭圆C的另一个交点为H，且|DF1|7|F1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点A是椭圆C的右顶点，过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x3于M，N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证：kk为定值解析：(1)椭圆C的焦距为2，F1(，0)，又D(0，b)，|DF1|7|F1H|，点H的坐标为，则1，解得a24，则b2a231，椭圆C的方程为y21.(2)证明：根据已知可设直线l的方程为yk(x1)由得(4k21)x28k2x4k240.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线AE，AF的方程分别为y(x2)，y(x2)，令x3，则M，N，P.kk.9
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