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9-3 几何概型课时规范练A组基础对点练1(2018贵阳监测)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为(D)A. B.C. D.2(2016高考全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(B)A. B.C. D.3(2018湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机画100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是(B)A. mm2 B. mm2C. mm2 D. mm2解析：设军旗的面积为a mm2，则有，解得a，故选B .4.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(B)A. B.C. D.5(2018广州调研)如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角.若在该大正方形区域内随机取一点，则该点在中间小正方形区域内的概率是(A)A. B.C. D.解析：在每个直角三角形中，斜边长为2，有一个内角为，所以每个直角三角形的面积S，所以所求概率P.故选A .6在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于与之间的概率为(D)A. B.C. D.7(2018陕西质检)在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是(C)A9 B.9C1 D.1解析：作出不等式组表示的平面区域，即如图所示的ABC及其内部，分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作弧，则图中的阴影部分内的点满足到ABC的三个顶点的距离均不小于1.易求得点A(6,2)，B(3，2)，C(3,8)，所以AB3，BC6.又注意到图中的三个扇形恰好可以拼凑成一个以1为半径的半圆，故所求概率P 1.故选C .8设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为(D)A. B.C. D.9在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_3_.10(2018贵阳适应性考试)已知三角形的三边长分别为1,1，若将一个质点随机投入该三角形的外接圆中，则质点落入该三角形内的概率是.解析：三边长分别为1,1，的三角形是等腰直角三角形，其外接圆的直径是，所以质点落入三角形内的概率P.11(2018福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是1.解析：依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD的面积为22sin 602.所以该点落在阴影部分的概率P11.12已知长方形ABCD中，AB4，BC1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为.B组能力提升练1如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(C)A. B.C1 D.解析：设OAOBr，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2，两个半圆外部的阴影部分的面积为r2，所以所求概率为1.2(2018石家庄模拟)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是(D)A. B.C. D.解析：以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则.因为20，所以2，得2.由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以SPBCSABC，所以将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为，故选D.3在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为(B)A. B.C. D.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部要使函数f(x)x22axb2有零点，则必须有4a24(b2)0，即a2b2，其表示的区域为图中阴影部分故所求概率P.4由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为(D)A. B.C. D.解析：如图，由题意知平面区域1的面积S1SAOM222.1与2的公共区域为阴影部分，面积S阴S1SABC21.由几何概型得该点恰好落在2内的概率P.故选D.5记函数f(x)的定义域为D.在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是.解析：由6xx20，即x2x60，得2x3，根据几何概型的概率计算公式得xD的概率是.6在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积若在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为.解析：由题意，因为在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，所以概率P.因为边长为2的正方形ABCD的面积为4，所以不规则图形M的面积的估计值为4.7(2016高考山东卷)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为.解析：圆(x5)2y29的圆心为C(5,0)，半径r3，故由直线与圆相交可得r，即3，整理得k2，得k.故所求事件的概率P.8(2018西安地区八校联考)从集合(x，y)|x2y24，xR，yR中任选一个元素(x，y)，则满足xy2的概率为.解析：如图，先画出圆x2y24，再画出不等式组对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P.9一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于.解析：如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1S正方形4S扇形S小圆(3)22212954，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P.10若m(0,3)，则直线(m2)x(3m)y30与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为.解析：对于直线方程(m2)x(3m)y30，令x0，得y；令y0，得x，由题意可得|，因为m(0,3)，所以解得0m2.由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.11某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答)解析：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).12有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为.解析：依题意，所求的概率等于1(123).13已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.9
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