2022年完整word版,直线与圆知识点总结

直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转到和 直线l重合 时所转的 最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是_（答：50)66，U）；（2）过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么,32,3值的范围是_（答：42mm或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P xy、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)akr，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y满足3250 xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为_（答：2,13）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)P xy、222(,)P xy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax，它不 包 括 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线 和 过 原 点 的 直 线。（5）一 般 式：任 何 直 线 均 可 写 成0AxByC(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(1,3)的 直 线 的 点 斜 式 方 程 是 _（答：13(2)yx）；（2）直 线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点_（答：(1,2)）；（3）若曲线|ya x与(0)yxa a有两个公共点，则a的取值范围是 _（答：1a）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为0 的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k不存在时，则其方程为0 xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 5 页5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P xy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系：（1）平行12210A BA B（斜率）且12210B CB C（在y轴上截距）；（2）相交12210A BA B；（3）重合12210A BA B且12210B CB C。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC垂直12120A AB B。如（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m _时1l2l；当m_时1l2l；当m_时1l与2l相交；当m _时1l与2l重合（答：1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120 xy，则与l平行，且过点（1，3）的直线方程是_（答：3490 xy）；（3）两条直线40axy与20 xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是_（答：12a）；（4）设,a b c分别是 ABC中 A、B、C 所对边的边长，则直线sin0A xaycg与sinsin0bxB yCg的位置关系是_（答：垂直）；（5）已知点111(,)P x y是直线:(,)0lf x y上一点，222(,)Pxy是直线l外一点，则方程1122(,)(,)(,)fx yf xyf xy0 所表示的直线与l的关系是 _（答：平行）；（6）直线l过点（，），且被两平行直线360 xy和330 xy所截得的线段长为9，则直线l的方程是 _（答：43401xyx和）7、到角和夹角公式：（1）1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，,0且 tan=21121kkkk(121k k)；（2）1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,2且 tan=21121kkkk(121k k)。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线240 xy与x轴的交点，把直线l绕点 M逆时针方向旋转45，得到的直线方程是_（答：360 xy）8、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点(,)M a b与点N关于x轴对称，点P 与点 N 关于y轴对称，点Q 与点 P 关于直线0 xy对称，则点Q 的坐标为_（答：(,)b a）；（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是 _（答：0bxayc）；（3）点（，）关于直线l的对称点为(2,7)，则l的方程是 _（答：3y=3x）；（4）已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_（答：18x510y）；（5）已知 ABC顶点 A(3，)，边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0，B 的平分线所在的精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 5 页方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程（答：29650 xy）；（6）直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（5,6）；（7）已知Ax轴，:Blyx，C（2，1），ABCV周长的最小值为_（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；设点11(,)P x y，22(,)Q xy，若11AxByC与22AxByC同号，则 P，Q 在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如 已知点 A（2，4），B（4，2），且直线:2lykx与线段 AB恒相交，则k的取值范围是_（答：31U，）（2）线性规划问题中的有关概念：满足关于,x y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量,x y的解析式叫目标函数，关于变量,x y一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（,x y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数 z=2xy 在线性约束条件|1|1xy下，取最小值的最优解是_（答：（1，1）；（2）点（，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则t的取值范围是_（答：23t）；（3）不等式2|1|1|yx表示的平面区域的面积是_（答：8）；（4）如果实数yx,满足2040250 xyxyxy，则|42|yxz的最大值 _（答：21）（4）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范。10、圆的方程：圆的标准方程：222xaybr。圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF）；圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)a b，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt。1122A,x yB xy为直径端点的圆方程12120 xxxxyyyy如（1）圆 C 与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆 C 的方程为 _（答：精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 5 页22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为_，P 点对应的值 为 _，过 P 点的 圆 的 切 线 方 程 是 _（答：224xy；23；340 xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_（答：0，2）；（5）方程 x2+y x+y+k=0 表示一个圆，则实数k 的取值范围为 _（答：21k）；（6）若3cos(,)|3sinxMx yy（为参数，0)，bxyyxN|),(，若NM，则 b 的取值范围是_（答：3,32）11、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点 M 在圆 C 外22200CMrxaybr；（2）点 M 在圆 C 内22200CMrxaybr；（3）点 M 在圆 C 上20CMrxa220ybr。如点 P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1 的内部,则 a的取值范围是_（答：131|a）12、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为_（答：相离）；（2）若直线30axby与圆22410 xyx切于点(1,2)P，则ab的值 _（答：2）；（3）直线20 xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于（答：4 5）；（4）一束光线从点A(1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1 上 的 最 短 路 程 是（答：4）；（5）已 知(,)(0)M a bab是 圆222:Oxyr内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线2:laxbyr，则A/ml，且l与圆相交Blm，且l与圆相交C/ml，且l与圆相离D lm，且l与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：22(1)5xy，直线L：10mxym。求证：对mR，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设L 与圆C 交于 A、B 两点，若17AB，求 L 的倾斜角；求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：60o或120o最长：1y，最短：1x）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，半径分别为12,r r，则（1）当1212|O Orr时，两圆外离；（2）当1212|O Orr时，两圆外切；（3）当121212|O Orrrr时，两圆相交；（4）当1212|O O|rr时，两圆内切；（5）当12120|O O|rr时，两圆内含。如双曲线22221xyab的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 5 页关系为（答：内切）14、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆222xyR 上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；从 圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程；切 线 长：过 圆220 xyDxEyF（222()()xaybR）外一点00(,)P xy所引圆的切线的长为220000 xyDxEyF（22200()()xaybR）；如 设 A 为圆1)1(22yx上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为_（答：22(1)2xy）；（2）弦长问题：圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距d，半弦长12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；过两圆1:(,)0Cf x y、2:(,)0Cg x y交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x yg x y，当1时，方程(,)(,)0f x yg x y为两圆公共弦所在直线方程.。15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 5 页