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专题7 动点问题探究(一),动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法、数形结合法等. 解答动点问题的题目要学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问题来解决，寻找动点问题中的特殊情况. (1)等腰三角形的存在性问题 如果问题中ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况.已知腰长，画等腰三角形用圆规画圆；已知底边，用刻度尺、圆规画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法与代数法，把几何法与代数法相结合，可以使得解题又快又好.,中考导航,几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验. (2)直角三角形的存在性问题 解决直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根. 一般情况下，按照直角三角形直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或三角函数列方程；在平面直角坐标系中，常常利用两点间的距离公式列方程；有时候根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简捷.,(3)平行四边形的存在性问题 解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 难点在于寻找分类标准.寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快. 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交产生三个顶点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或角分为两种情况. 灵活应用中心对称的性质，可以使得解题简便.,考点突破,答案,考查角度一,等腰三角形的存在性问题,例1 (2016凉山)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)、B(3,0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式；,故抛物线的解析式为yx22x3.,(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；,答案,(3)点M也是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.,答案,规律方法,A(1,0)、C(0，3)， MA2m24，MC2(3m)21m26m10， AC210， 由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论： 若MAMC，则MA2MC2， 得m24m26m10，解得：m1； 若MAAC，则MA2AC2，,规律方法,答案,若MCAC，则MC2AC2， 得m26m1010，解得：m10，m26. 当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.,规律方法,本题主要考查二次函数的综合，涉及抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.,规律方法,例2 (2015聊城)如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上 OA4，AB3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度 的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每 秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点 运动了x秒(0 x4)时，解答下列问题： (1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；,答案,考查角度二,直角三角形的存在性问题,解 根据题意得：AMx，ON1.25x， 在RtOAB中，由勾股定理得：,作NPOA于P，如答图1所示，则NPAB， OPNOAB，,(2)设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？,答案,(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.,答案,规律方法,解 存在某一时刻，使OMN是直角三角形，理由如下： 分两种情况： 若OMN90，如答图2所示，则MNAB， 此时OM4x，ON1.25x， MNAB，OMNOAB，,答案,规律方法,若ONM90，如答图3所示，则ONMOAB， 此时OM4x，ON1.25x， ONMOAB，MONBOA， OMNOBA，,规律方法,本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识.本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果.,规律方法,例3 (2016广安)如图，抛物线yx2bxc与直线y x3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为(4，5)，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCx轴于点C，交AB于点D. (1)求抛物线的解析式；,答案,考查角度三,平行四边形的存在性问题,点A(0，3)，B(4，5)在抛物线yx2bxc上，,(2)以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；,答案,答案,解 存在，理由如下：,PDAO， 当PDOA3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形， |m24m|3. 当m24m3时，,当m24m3时，解得：m11，m23.,(3)当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PMAB，垂足为M，连接PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标.,答案,规律方法,答案,规律方法,解 PAM为等腰直角三角形，BAP45， 直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45所得， 可设直线AP解析式为ykx3，,直线AP解析式为y3x3，,规律方法,本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质.解本题的关键是确定以O，A，P，D为顶点的平行四边形时，OA和PD是对边，这也是本题的难点.,规律方法,
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