2022年正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

1 正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法王彦文青铜峡一中1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 其中 R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a 2Rsin A，b，c；sin Aa2R，sin B，sin C；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2，b2，c2 .若令 C90，则 c2，即为勾股定理(2)余弦定理的变形：cosA，cosB，cosC .若 C为锐角，则 cosC0，即 a2b2_c2；若C为钝角，则 cosC0，即a2b2_c2.故由 a2b2与 c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2B sin2C2sin Bsin C cosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_ 定理只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对 角，用 _ 定 理，可 能 有_ 如在 ABC中，已知 a，b 和 A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin A bsin Aab解的个数(3)已知三边，用 _ 定理有精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 12 页2 解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式或变式(1)三 角 形面 积 公 式 S_ 其中 R，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC，则 A_，A2_，从而sin A _，cosA_，tan A_；sinA2_，cosA2_，tanA2 _.tan A tan B tan C_.(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则2b_?2sin B_?2sinB2cosAC2?2cosAC2cosAC2?tanA2tanC213.【自查自纠】1(1)asin Absin Bcsin C2R(2)2R sin B2Rsin Cb2Rc2Rsin Asin Bsin C2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)b2c2a22bcc2a2b22caa2b2c22ab B是 sin Asin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件 故选 C.在ABC中，已知 b6，c10，B30，则解此三角形的结果有()A无解B一解C 两解D一解或两解解：由正弦定理知 sin C csin Bb56，又由cbcsin B知，C有两解也可依已知条件，画出ABC，由图知有两解故选C.(2013陕西)设ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC ccosBasin A,则ABC 的形状为()A锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D不确定解：由已知和正弦定理可得sin BcosCsin CcosB sin Asin A，即sin(B C)sin Asin A，亦即 sin Asin Asin A.因为 0A，所以 sin A1，所以 A2.所以三角形为直角三角形故选 B.(2012陕西)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a2，B6，c23，则 b_精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 12 页4 解：由余弦定理知b2a2c22accosB22()2 322223cos64，b2.故填 2.在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a2，b2，sin BcosB2，则角 A的大小为 _解：sin BcosB2，2sin B42，即 sin B41.又B(0，)，B42，B4.根据正弦定理asin Absin B，可得sin Aasin Bb12.ab，AB.A6.故填6.类型一正弦定理的应用ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知AC90，ac2b，求C.解：由 ac2b 及正弦定理可得sin Asin C2sin B.又由于 AC 90，B180(AC)，故 cosCsinCsinAsinC2sin(AC)2sin(90 2C)2sin2(45 C)2 sin(45 C)22 sin(45 C)cos(45 C)，精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 12 页5 即 cos(45 C)12.又0 C 90，45 C60，C15.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键(2012江西)在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知A4，bsin4Ccsin4Ba.(1)求证：BC 2；(2)若 a2，求 ABC的面积解：(1)证 明：对bsin4Ccsin4B a应 用 正 弦 定 理 得sin Bsin4C sin Csin4B sin A，即sin B22sin C 22cosCsin C22sinB22cosB 22，整理得 sin BcosCsin CcosB1，即 sin()BC1.由于 B，C 0，34，BC2.(2)BC A34，又由(1)知 BC2，B58，C8.a2，A4，由正弦定理知basin Bsin A2sin58，casin Csin A2sin8.SABC12bcsin A122sin582sin8222sin58sin82cos8sin822sin412.精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 12 页6 类型二余弦定理的应用在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosCb2ac.(1)求 B的大小；(2)若 b13，ac4，求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，将上式代入cosBcosCb2ac得a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得 a2c2b2ac.cosBa2c2b22acac2ac12.B为三角形的内角，B23.(2)将 b13，ac4，B23 代入 b2a2c22accosB，得 13422ac2accos23，解得 ac3.SABC12acsin B334.【评析】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角 A，B，C所对的边 a，b，c 满足(ab)2c24，且 C60，则 ab 的值为()A.43B843 C1 D.23解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab，代入(ab)2c24 中得(ab)2(a2b2ab)4，即 3ab4，ab43.故选A.精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 12 页7 类型三正、余弦定理的综合应用(2013全国新课标)ABC的内角A、B、C的对边分别为 a，b，c，已知 abcosC csin B.(1)求 B；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值解：(1)由 已 知 及 正 弦 定 理 得 sin Asin BcosC sin C sin B.又 A(BC)，故sin A sin(B C)sin BcosC cosBsin C.由，和 C(0，)得 sin BcosB.又 B(0，)，所以 B4.(2)ABC的面积 S12acsin B24ac.由 已 知 及 余 弦 定 理 得4 a2 c22accos4.又 a2c22ac，故 ac422，当且仅当 ac 时，等号成立因此ABC面积的最大值为21.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ac6，b2，cosB79.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值解：(1)由余弦定理 b2a2c22accosB，得 b2(ac)22ac(1 cosB)，又 ac6，b2，cosB79，所以 ac9，解得 a3，c3.(2)在ABC 中，sin B1cos2B429，由正弦定理得 sin Aasin Bb223.因为 ac，所以 A为锐角，所以 cosA1sin2A13.因此 sin(AB)sin AcosBcosAsin B10 227.精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 12 页8 类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若 tanAtanBa2b2，试判断三角形 ABC 的形状解法一：由正弦定理，得a2b2sin2Asin2B，所以tan Atan Bsin2Asin2B，所以sin AcosBcosAsin Bsin2Asin2B，即 sin2 Asin2 B.所以 2A2B，或 2A2B，因此 AB或 AB2，从而 ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得a2b2sin2Asin2B，所以tan AtanBsin2Asin2B，所以cosBcosAsin AsinB，再由正、余弦定理，得a2c2b22acb2c2a22bcab，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即 a2b2或 c2a2b2.从而 ABC是等腰三角形或直角三角形【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握(2012上海)在 ABC 中，若sin2A sin2Bsin2C，则 ABC的形状是()A锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D不能确定解：在 ABC中，sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理知a2b2c2.cosC a2b2c22ab0，即C为钝角，ABC为钝角三角形 故选C.类型五解三角形应用举例精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 12 页9 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为 Sn mile，则S900t2400230t 20cos（9030）900t2600t 400900t 132300，故当 t 13时，Smin103，此时 v10313303.即小艇以 303 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在 B处相遇，则v2t2400900t222030t cos(9030)，故v2900600t400t2.0AC，且对于线段 AC上任意点 P，有OP OC AC.而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含 C)的任意位置相遇设COD(0 90)，则在 RtCOD中，CD 10 3tan，OD 103cos.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t10103tan30和t103vcos，所以1010 3tan 30103vcos.由此可得，v153sin（30）.又 v30，故 sin(30)32，从而，3090.由于 30时，tan 取得最小值，且最小值为33.于是，当 30时，t 1010 3tan 30取得最小值，且最小值为23.【评析】这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形 为背 景的 应用 题开 始 成为 热点 问题 之一不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形本题用几何方法求解也较简便精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 12 页1 1(2012武汉 5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的 B处，且与岛屿 A相距 12海里，渔船乙以10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解：(1)依题意，BAC 120，AB 12，AC 10220，在ABC 中，由余弦定理知 BC2AB2AC22AB AC cosBAC 12220221220cos120 784，BC 28.所以渔船甲的速度为v28214(海里/小时)(2)在ABC中，AB12，BAC120，BC 28，BCA ，由 正 弦 定 理 得ABsin BCsin BAC，即12sin 28sin120，从而 sin 12sin120 283 314.1已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用 ABC 这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状3要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin Asin(BC)，cosAcos(BC)，sinA2cosBC2，sin2 Asin2(BC)，cos2Acos2(BC)等4应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 12 页1 2知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解5正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法 注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 12 页