2022年武义三中数学5月回归课本精析

1 1 高中数学 5 月回归课本精析一集合集合及其表示A；子集 B，交集、并集、补集B1.注意区分集合中元素的形式.如：|lg x yx 函数的定义域；|lg y yx函数的值域。2.集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为 AA.空集是任何集合的子集,记为A.空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况，如：012|2xaxxA,如果AR,求a的取值.(答：0a)含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为 21n；非空真子集个数为 22n.3.补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。二函数概念与基本初等函数函数的概念B；函数的基本性质B(一)函数的概念1.映射映射f:AB是：“一对一或多对一”的对应；A中元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；B中元素不一定有原象(即象集B).一一映射f:AB：“一对一”的对应；A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.2.函数：定义域到值域的映射叫做函数。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数三要素：定义域A：x 取值范围组成的集合。值域B：y 取值范围组成的集合。对应法则f：y 与 x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。二函数的基本性质 1、定义域题型(1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在()f x中()0f x；在()()g xf x中，()0f x；在log()af x中，()0f x；在tan()f x中，()2f xk；在0()fx中，()0fx；在xa与logax中0a且1a，列不等式求解。(2)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。3复合函数：假设()f x定义域为,a b,复合函数()f g x定义域由()ag xb解出；假设()f g x定义域为,a b,则()f x定义域相当于,xa b时()g x的值域.2、值域题型：配方法(二次函数类)；导数法(一般适用于高次多项式函数)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法；单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法二次分式或混合分式别离常数法一次分式3、函数解析式(1)换元法：如f(2x+3)=x2+3x+5，求 f(3-7x)，精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 23 页2 2(2)构造法：如221)1(xxxxf，求 f(x)。(3)待定系数法：通过图像求出y=Asin(x+)+C中系数(4)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；假设()f x是偶函数,那么()()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点(0)0f)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f xfx或()()1()0)fxf xf x；注意：假设判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0fx定义域关于原点对称即可).奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等；复合函数单调性由“同增异减”判定.提醒：求单调区间时注意定义域平移变换：左右平移-“左加右减”注意是针对x而言；上下平移-“上加下减”(注意是针对()f x而言).翻折变换：()|()|f xf x；()(|)f xfx.对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.函数()yfx与()yfx的图像关于原点成中心对称函数()yf x与()yfx的图像关于直线0 x(y轴)对称；函数()yf x与函数()yf x的图像关于直线0y(x轴)对称；函数()yf x对 xR 时，()()f axf ax或()(2)f xfax恒成立,则()yf x图像关于直线xa对称；假设()yfx满足()()f axf bx恒成立,则()yf x图像关于直线2abx对称；6.函数的周期性：假设()yf x对xR时()()f xaf xa恒成立,则()f x的周期为2|a；假设()yf x是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则()f x的周期为2|a；假设()yf x奇函数,其图像又关于直线xa对称,则()f x的周期为4|a；假设()yf x关于点(,0)a,(,0)b对称,则()f x的周期为2|ab；三函数概念与基本初等函数指数与对数B；指数与对数的图象和性质B；对数函数的图象和性质 B；幂函数A；函数与方程A；函数模型及其应用B 今年可能考幂函数一、常规函数图像主要有：精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 23 页3 3 指数函数：逆时针旋转，底数越来越大对数函数：逆时针旋转，底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。对数：loglognnaabb(0,1,0,)aabnR；对数恒等式log(0,1,0)aNaN aaN；log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；1loglognaaMnM；对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；(二)、几类常见的抽象函数：正比例函数型：()(0)f xkx k-()()()f xyf xfy；幂函数型：2()f xx-()()()f xyf x fy，()()()xf xfyfy；指数函数型：()xf xa-()()()f xyf x f y，()()()f xf xyfy；对数函数型：()logaf xx-()()()fxyf xf y，()()()xff xfyy；三 .方 程()kf x有 解kD(D为()f x的 值 域)；()af x恒 成 立()af x最大值,()af x恒成立()af x最小值.四.恒成立问题的处理方法：别离参数法(最值法)；转化为一元二次方程根的分布问题；1).恒成立问题假设不等式()f xA在区间D上恒成立,则等价于；minfxA假设不等式Bxf在区间D上恒成立,等价于maxfxB。2).能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；假 设 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式Bxf成 立,则 等 价 于 在 区 间D上的 .3).恰成立问题：恒成立最值法,如：()af x最大值,则()af x恒成立.()af x最小值,则()af x恒成立.假设不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；假设不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.五二次函数问题.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 23 页4 4 12200111sincos12200111sincos1二次函数解析式的三种形式：一般式：2()(0)f xaxbxc a；顶点式：2()()(0)f xa xhk a；零点式：12()()()(0)f xa xxxxa.2.一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、有穷区间端点函数值符号;四函数概念与基本初等函数三角函数的有关概念B；同角三角函数的基本关系式B；正弦、余弦的诱导公式B；正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质B；函数sinyAx的图象和性质A；两角和 差的正弦、余弦、和正切 C；二倍角的正弦、余弦和正切B；积化和差、和差化积、半角公式A一三角函数的有关概念1.终边与终边相同2()kkZ；象限角、轴上角的表示，23、的范围2.弧长公式：|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度(1rad)57.3.3.三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP|则：,cos,sinrxryxytan三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.注意：3tan15cot752；3tan75cot152；三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线“站在点(1,0)A处(起点是A)”.sincos、的大小关系二同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式(1)商数关系：tancossin (2)平方关系：1cossin22，三正弦、余弦的诱导公式对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视 为锐角)诱导公式2k可简记为：奇变偶不变，符号看象限.其中奇是指 .偶是指 .变是指 .看符号时要将 不管具体是多少度一律视为锐角.四正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1、基本图像：1 正弦函数精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 23 页5 5 2 余弦函数3 正切函数2、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域R R|12x xRxk且值域 1,1 1,1R R 周期22奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数单调22,22kk上为增函数223,22kk上为减函数(Zk)2,12kk上为增函数12,2kk上为减函数(Zk)kk2,2上为增函数(Zk),kk上为减函数(Zk)|x xRxk且xycotxytanxycosxysin精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 23 页6 6 对称对称轴为2xk，对 称中心为(,0)k，kZ对称轴为xk，对称中心为(,0)2kkZ无对称轴，对称中心为(,0)2kkZ无对称轴，对称中心为(,0)2kkZ常见结论：1.xysin与xycos的周期是.2.)sin(xy或)cos(xy(0)的周期2T.3.2tanxy的周期为 2.4.)sin(xy的对称轴方程是2kx(Zk)，对称中心(0,k)；)cos(xy的对称轴方程是kx(Zk)，对称中心(0,21k)；)tan(xy的对称中心(0,2k).5.函数xytan在R上为增函数.()只能在某个单调区间单调递增.假设在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.6.奇函数特有性质：假设x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.(x0的定义域，则无此性质)五、函数sinyAx的图象和性质1、函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：将sinxy=图象上的点沿x 轴向)(0或向)(0b0);参数方程sinbycosax；定义:|PF1|+|PF2|=2a2c；e=22ab1ac长轴长为2a，短轴长为2b；准线 x=ca2、通径(最短焦点弦)ab22,焦准距 p=cb2,a2=b2+c2 ；21FPFS=2tanb2,当 P为短轴端点时PF1F2最大；近地 a-c ，远地 a+c;2.双曲线：方程1byax2222(a,b0)；定义:|PF1|-|PF2|=2a2c；e=22ab1ac,c2=a2+b2；四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心；到焦点距离常化为到准线距离；准线x=ca2、通径(最短焦点弦)ab22,焦准距 p=cb221FPFS=2cotb2渐进线0byax2222或xaby;焦点到渐近线距离为b;3.抛物线方程 y2=2px；定义:|PF|=d准；顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点 F(2p,0),准线 x=-2p,焦半径2pxAFA;焦点弦ABx1+x2+p;y1y2=p2,x1x2=42p其中 A(x1,y1)、B(x2,y2)通径 2p,焦准距 p;4结论焦半径：椭圆：0201,exaPFexaPFe 为离心率；左“+”右“-”；抛物线：20pxPF弦长公式：4)(1(1212212122xxxxkxxkAB4)()11(11212212122yyyykyyk；了解 过两点椭圆、双曲线标准方程可设为：122nymxnm,同时大于0 时表示椭圆，0mn时表示双曲线；椭圆中的结论：内接矩形最大面积：2ab；P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则222211|1|1baOQOP；不要求掌握椭圆焦点三角形：2tan221bSFPF，21PFF；点M是21FPF内精选学习资料 -名师归纳总结-第 22 页，共 23 页23 23 心，PM交21FF于点N，则caMNPM|；当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；双曲线中的结论：双曲线12222byaxa0,b0 的渐近线：02222byax；共渐进线xaby的双曲线标准方程为2222byax；双曲线为等轴双曲线2e渐近线为xy渐近线互相垂直；双曲线焦点三角形：2cot221bSFPF，21PFF；P是双曲线22ax22by=1(a0，b0)的左右支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为)(,aa；6抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质：x1x2=42p；y1y2=p2；pBFAF2|1|1；抛物线y2=2px(p0)内结直角三角形OAB的性质：2212214,4PyyPxx；ABl恒过定点)0,2(p；2min4)(pSAOB精选学习资料 -名师归纳总结-第 23 页，共 23 页