2022年正弦定理和余弦定理导学案及习题

学习必备欢迎下载高一数学必修5 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理（第一课时）一、学习目标：1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题.二、教学重点与难点重点：正弦定理的探索和简单应用。难点：探索过程的组织和引导。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】1、一些特殊角的三角函数值三角函数 0 30 45 60 90 弧度制sin costan2、设 ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为A、B、C（1)角与角关系：_，（2）边与边关系：a+b c，_，_;ab c，_，_3、解直角三角形（ABC 中，C90，每小题6 分，共 24 分）：1已知：c 83，A60，求 B、a、b2已知：a36，A30，求 B、b、c.3已知：a6，b23，求 A、B、c.【构建新知】【活动 1】想一想：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1.1-2，在 RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A 则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC C a B(图 1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？正弦定理：在一个三角形中，_,即_.思考：下列有关正弦定理的叙述正确的是：1 正弦定理只适用于锐三角形；2 正弦定理不适用于直角三角形；3 在某一确定三角形中，各边与它对应的角的正弦的比是定值；4 在ABC中，:A B Ca b c【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由两边一角求出一角，能否由两角一边求出一边？【例 1】在ABC中，已知 a10，A45，C75，则 b=.【例 2】（1）在ABC中,已知38,8,30baA,求 B.【课中检测】1、在ABC中,30A,3a，则ABC的外接圆半径为（）（A）23（B）3（C）33（D）6 2、在ABC中，已知下列条件，解三角形（边长精确到1cm）：(1)45,30,10ACccm；(2)60,45,20ABccm。3、在ABC中，已知45,2,3Bba，且CA，求CA,和c精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载4、在ABC中,60A,24,34ba，求B。【课后检测】1.在ABC中，13,5,sin3abA，则sin B2.在ABC中,已知30,3Aa，则ABC的外接圆的半径是。3.在ABC中，60,45,3 2ABBC，则 AC=4.在ABC中，根据下列条件解三角形：（1）,45,2,3Bba（2）3,1,60,bcB5、在ABC中，:1:2,sin1A BC，求:a b c。1.1.1 正弦定理（第二课时）一、学习目标：1.在初中解直角三角形的基础上，引导学生推出正弦定理，通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解决相关问题.二、教学重点与难点重点：正弦定理的探索和简单应用。难点：探索过程的组织和引导。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】1.在ABC中，75,45,1ABc，求最短边的长度。2.在ABC中，3,2,45abB，解三角形。【构建新知】【活动 1】利用等比、连比性质，正弦定理还有哪些变形？【例 1】在ABC中，一定成立的是（）（A）BbAasinsin（B）BbAacoscos（C）AbBasinsin（D）AbBacoscos【例 2】在ABC中，角,A B对应的边分别为,a b.若2 sinaBb，求角A。【例 3】在ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c.若120,2Cca，则AabB.abC.abD.不确定【课中检测】1、在ABC中，若 ab，则AsinBsin，反之成立吗？2、在ABC中，:1:2,sin1A BC，则 a:b:c 等于3、在锐角ABC中，角,A B对应的边分别为,a b.若2 sin3aBb，求角A。4、在锐角ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c.且满足sin3sinacAC，求角C【课后检测】1、根据下列条件，解ABC:(1)已知60,45,20ACb；(2)已知30,2,2Aab.2、在锐角ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c.若2 sinabB，求角C。3、ABC的内角,A B C所对应的边分别是,a b c，已知13 cos2 cos,tan3aCcAA，求B的大小。4、在ABC中，若sincosABab，则求角 B。5、ABC的内角,A B C所对应的边分别是,a b c，已知2,2,sincos2abBB，求A的大小。精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载1.1.2 余弦定理（第一课时）一、学习目标：以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。二、教学重点与难点重点：余弦定理的推导过程及运用；难点：余弦定理的灵活运用。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序【课前诊断】1、不查表求cos15的值。2、在ABC中,60A,15,10ab，求cosB。【引导探究，获得新知】【活动 1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？如图 1.1-4，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C 已知 a,b 和C，求边 c。b a A c B(图 1.1-4)余弦定理：即:【活动2】让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：【活动3】让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【活动 4】讨论余弦定理有哪些作用？例 1在ABC中，一定成立的是（）（A）Bacacbcos2222（B）Aacbcacos2222（C）Baccabcos2222（D）Cabcbacos2222例 2在ABC中，已知30,36,6Cba，则c的值为例 3.在ABC中，已知3,13,4ABBCAC，求角A【课中检测】1.在ABC中，已知2,3,30ACBCA，求AB2、在ABC中，已知,45,2,3Bba解三角形3、在ABC中，如果2,2,13cba，那么C等于（）（）15（）30（）45（）604、在ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到0.1 度，边长精确到0.1 厘米）(1)7,10,6acm bcm ccm(2)9,10,15acm bcm ccm【课后检测】1.ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，求另一边长。2、在ABC中，已知1,2,60ABBCB，求AC3、在ABC中，已知5,7,3ABBCAC，求BAC4、ABC的 内 角,A B C所 对 应 的 边 分 别 是,a b c，若13,2,cos()3abAB，则cos_;_Cc。5、在ABC中，已知5,3,120abC，求sin A6已知ABC的三边长a3，b5，c6，则ABC的各角的余弦值1.1.2 余弦定理（第二课时）一、学习目标：以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理，并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载二、教学重点与难点重点：余弦定理的推导过程及运用；难点：余弦定理的灵活运用。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。五、教学练评活动程序【课前诊断】1、在ABC中，已知2,2 2,15abC，解三角形2、已知ABC的三边长2 3,22,62abc，则ABC的各角【引导探究，获得新知】【活动 1】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决下面这个问题？如图 1.1-3，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C 已知 a,b 和C，求ABC的面积。b a A c B(图 1.1-3)例 1、在ABC中,已知30A,8,8 3ab，求ABC的面积。例 2、已知锐角ABC的面积为3 3，4BC，3CA，则角C大小为（A）30（B）45（C）60（D）75例 3、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若coscosabBA，则ABC的形状一定是（）A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形【课中检测】1、在ABC中，60,4,2 3AACBC，求ABC的面积。2、ABC的内角,A B C所对应的边分别是,a b c，已知2,64bBC，求ABC的面积。3已知ABC的三边长a3，b5，c6，则ABC的面积是()A.14 B214 C.15 D215 4、在ABC中，角CBA,所对的边为cba,，已知bcAba3,sin2（1）求B的值；（2）若ABC的面积为32，求ba,的值5、ABC中，若2 coscaB，则 ABC的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D锐角三角形6、已知：在 ABC中，BCbccoscos，则此三角形为A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【课后检测】1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积：（1）已知3,4,30acB(2)已知75,4,45AbC2、已知锐角ABC的面积为3 3，4BC，3CA，则角C大小为3、在锐角ABC中，内角,A B C所对应的边分别是,a b c，且2 sin3aBb.（1）求角A的大小；（2）若6,8abc，求ABC的面积。4、在A B C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2 c o sabC，则A B C的形状一定是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形5、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若coscossinbCcBaA，则ABC的形状为（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定1.2 正余弦定理实际应用精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载一、学习目标：1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.二、教学重点与难点重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。三、教法与建议学生分组讨论，教师引导总结。四、教学练评活动程序【课前诊断】1、ABC中，45,60,10,ABa则b等于（）A 5 2B 10 2C 1063D 5 62、在ABC中，B=30，C=45，c=1，则最短边长为（）A63 B22C12D323、在ABC中，222acbab，则C（）A.60B.45或135C.120D.304、在ABC中，角CBA,所对的边分别是cba,，且Abasin3，则Bsin（A）3（B）33（C）36（D）365、在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知2a，3c，1cos4B（I）求b的值；（II）求sinC的值【构建新知】【活动 1】阅读课本相关内容，认识实际测量中的有关名词和术语：铅锤平面：坡角：坡比：视角：仰角和俯角：方向角：方位角：【课中检测】例 1、如图，设A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸 边 选定 一 点 C，测 出AC 的 距 离 是 55m，BAC=51，ACB=75。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)例 2 如图 6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜角是 24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到 0.1m)例 3 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡 AB的坡度 i=1 3，斜坡 CD的坡度 i=1 2.5，求斜坡 AB的坡面角，坝底宽 AD和斜坡 AB的长(精确到 0.1m)例 4 如图 6-32，海岛 A的周围 8 海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B处测得海岛A位于北偏东60，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛A位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？【课后检测】精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载1某人向正东方向走x km 后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为()A.3 B23 C23或3 D3 2已知船A在灯塔C北偏东 85且到C的距离为 2km，船B在灯塔C西偏北 25且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为()A23km B32km C.15km D.13km 3两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东 20，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.3a km C.2a km D2a km 4如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是 _5.如图，一艘船上午800 在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 830 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是_n mile/h.精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 6 页