第4节 三角函数的图象与性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角函数的定义域、值域与最值
1,7
三角函数的单调性、单调区间
3,9,13
三角函数的奇偶性、周期性与对称性
2,5,6,8,10
综合应用
4,11,12,14
基础巩固(时间:30分钟)
1.函数y=的定义域为( C )
(A)[-,]
(B)[kπ-,kπ+](k∈Z)
(C)[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
(D)R
解析:因为cos x-≥0,
得cos x≥,
所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( C )
(A) (B) (C)π (D)2π
解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.
3.函数y=2sin(-2x)(x∈[0,π])的一个递增区间是( A )
(A)[,] (B)[,π]
(C)[,] (D)[-,]
解析:首先将函数化为y=-2sin(2x-)(x∈[0,π]),
令t=2x-,x增大,t增大,
所以为求函数的增区间,需研究y=2sin t的减区间.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以k=0时得[,],故选A.
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )
(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3
(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4
(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.
5.将函数y=2sin(x+)cos(x+)的图象向左平移(>0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则的最小值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:根据题意可得y=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位长度,可得y=sin(2x++2)的图象.
因为该图象所对应的函数恰为奇函数,
所以+2=kπ(k∈Z),=-(k∈Z),
又>0,所以当k=1时,取得最小值,且min=,
故选B.
6.已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是( A )
(A)2 (B)4 (C)π (D)2π
解析:由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期,即==2.故选A.
7.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
解析:f(x)=2cos x+sin x=(cos x+sin x)=sin (x+θ),其中tan θ=2,
所以f(x)的最大值为.
答案:
8.已知点P(4,-3)在角的终边上,函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象上与y轴最近的两个对称中心间的距离为,则f()的值为 .
解析:由题意=,则T=π,
即ω==2,
则f(x)=sin(2x+);
又由三角函数的定义可得sin =-,cos =,
则f()=sincos +cossin =.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·大连二十四中模拟)已知f(x)是偶函数,当x∈[0,]时,f(x)=xsin x.若a=f(cos 1),b=f(cos 2),c=f(cos 3),则a,b,c的大小关系为( B )
(A)a
0)图象的最高点与相邻最低点的距离是,若将y=f(x)的图象向右平移个单位得到y=g(x)的图象,则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( B )
(A)x= (B)x=
(C)x= (D)x=0
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),ω>0.
设函数f(x)的周期为T.
则由题意得()2+[2-(-2)]2=()2,得T=2.
所以=2,
所以ω=π.
则f(x)=2sin(πx+).
y=g(x)=2sin[π(x-)+]=2sin(πx+).
令πx+=+kπ,k∈Z得x=k+,k∈Z.
当k=0时,函数y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=.故选B.
11.(2018·重庆巴蜀中学模拟)已知函数f(x)=2cos x·sin x+2sin2x(x∈R),给出下列五个命题:
①(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心;
②f(x)的最小正周期是2π;
③f(x)在区间[-,]上是增函数;
④f(x)的图象关于直线x=对称;
⑤x∈[-,]时,f(x)的值域为[1-,3].
其中正确的命题为( D )
(A)①②④ (B)③④⑤
(C)②③ (D)③④
解析:将原函数化简得,f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin(2x-)+1(x∈R),其对称中心为(+,1)(k∈Z),故①错;最小正周期T==π,故②错;f(x)在-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z上单调递增,
所以当k=0时,f(x)在[-,]上是增函数,故③正确;令2x-=+kπ,k∈Z,则对称轴为x=+,k∈Z,
所以当k=0时,x=是其对称轴,故④正确;因为函数在[-,-]上单调递减,在[-,]上单调递增,故其最小值为f(-)=-1,最大值为f()=3,故当x∈[-,]时,f(x)的值域为[-1,3],故⑤错.
12.(2018·山西运城康杰中学一模)已知x1,x2是函数f(x)=2sin 2x
+cos 2x-m在[0,]内的两个零点,则sin(x1+x2)= .
解析:f(x)=2sin 2x+cos 2x-m=sin(2x+)-m,其中 (cos =,
sin =),由函数f(x)在[0,]内的两个零点,知方程sin(2x+)-
m=0在[0,]内有两个根,即函数y=m与y=sin(2x+)的图象在[0,]内有两个交点,且x1,x2关于直线x=-对称,
所以x1+x2=-,
所以sin(x1+x2)=sin(-)=cos =.
答案:
13.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π),若(,)是f(x)的一个单调递增区间,则的值为 .
解析:令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
有-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
此时函数单调递增,若(,)是f(x)的一个单调递增区间,
则必有
解得
故=+2kπ,k∈Z,
又||<π,所以=.
答案:
14.(2018·长沙一中模拟)设函数f(x)=Asin (ωx+)(A,ω,是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=
-f(),则f(x)的最小正周期为 .
解析:因为f(x)在[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则×≥-,且函数的图象关于直线x==对称,且一个对称点为(,0),
可得0<ω≤3.且-=×,
得ω=2.
所以f(x)的最小正周期T==π.
答案:π
- 8 -