2020年中考数学复习考点解密 探索性问题(含解析)

精品 120122012 年中考数学二轮复习考点解密年中考数学二轮复习考点解密探索性问题探索性问题同学们：同学们：一分耕耘一分收获，一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败只要我们能做到有永不言败+勤奋学习勤奋学习+有远大的理想有远大的理想+坚定的信坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除可删除）、综合问题精讲：、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识 经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力、典型例题剖析、典型例题剖析【例 1】如图261，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF 的顶点 C、F 在抛物线上，D、E 在x轴上，CF 交 y 轴于点 B(0，2)，且其面积为 8(1)求此抛物线的解析式；(2)如图 262，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点，连结 PB 并延长交抛物线于点 Q，过点 P、Q 分别作x轴的垂线，垂足分别为 S、R求证：PBPS；判断SBR 的形状；试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点的三角形和以点Q、R、精品 1M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由解解：方法一：B 点坐标为(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)F 点坐标为(2，2)设抛物线的解析式为y ax2bxc其过三点 A(0，1)，C(-22)，F(2，2)1 x1得2 4a2bc解得a,b 0,c 142 4a2bc2此抛物线的解析式为y x 114方法二方法二：B 点坐标为(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)根据题意可设抛物线解析式为y ax2c其过点 A(0，1)和 C(-22)1 c解得a 1,c 142 4ac此抛物线解析式为y x21(2)(2)解：解：过点 B 作 BN BS，垂足为 NP 点在抛物线 y=4x+l 上可设P 点坐标为(a,1a21)PS4a21411241，OBNS2，BNaPN=PSNS=1a21在 RtPNB 中42222222PB2PN BN(4a 1)a (4a 1)1112PBPS4a 1根据同理可知 BQQR精品 11 2，又1 3，2 3，同理SBPB25 23 1805390SBR 90.SBR 为直角三角形方法一：设PS b,QR c，由知 PSPBbQR QB c，PQ bcSR2(bc)2(bc)2SR 2 bc假设存在点 M且 MSx，别 MR2 bc x若使PSMMRQ，则有b2 bc x即x22 bcx bc 0 xcx1 x2bcSR2bcM 为 SR 的中点.若使PSMQRM，则有bc2b bcx x2 bc xbcMR2 bc x2 bccQBRO1MSxbBPOS2b bcbcM 点即为原点 O综上所述，当点 M 为 SR 的中点时PSMMRQ；当点 M 为原点时，PSMMRQ方法二：若以 P、S、M 为顶点的三角形与以Q、M、R 为顶点三角形相似，PSM MRQ 90，有PSMMRQ 和PSMQRM 两种情况当PSMMRQ 时SPMRMQ，SMPRQM由直角三角形两锐角互余性质知PMS+QMR90 PMQ 90 取 PQ 中点为 N连结 MN则 MN1PQ=1(QR PS)22精品 1MN 为直角梯形 SRQP 的中位线,点 M 为 SR 的中点当PSMQRM 时，RMQRQB又RMRO，即 M 点与 O 点重合 点 M 为原点 OMSPSBPMSOS综上所述，当点 M 为 SR 的中点时，PSMMRQ；当点 M 为原点时，PSMQRM点拨点拨：通过对图形的观察可以看出 C、F 是一对关于 y 轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c 型即可而对于点 P 既然在抛物线1上，所以就可以得到它的坐标为（a，a2+1）这样再过点B 作 BNPS得出的几何图形4求出 PB、PS 的大小最后一问的关键是要找出PSM 与MRQ 相似的条件【例 2】探究规律：如图 264 所示，已知：直线 mn，A、B 为直线 n 上两点，C、P 为直线 m 上两点（1）请写出图 264 中，面积相等的各对三角形；（2）如果A、B、C 为三个定点，点P 在 m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有_与ABC 的面积相等理由是：_.解决问题：如图 265 所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图 266 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（266 中折线 CDE）还保留着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由精品 1解解：探究规律：（l）ABC 和ABP，AOC 和 BOP、CPA和CPB（2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在 m 上移动到任何位置，总有ABP 与ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等解决问题：画法如图267 所示连接 EC，过点 D 作 DFEC，交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路位置设 EF 交 CD 于点 H，由上面得到的结论可知：SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN点拨：点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过 D 作 DFEC，再运用同底等高的三角形的面积相等【例 3】如图 268 所示，已知抛物线的顶点为 M（2，4），且过点 A(1,5)，连结 AM交 x 轴于点 B求这条抛物线的解析式；求点 B 的坐标；设点 P（x，y）是抛物线在x 轴下方、顶点 M 左方一段上的动点，连结 PO，以P为顶点、PQ 为腰的等腰三角形的另一顶点Q 在 x 轴上，过 Q 作 x 轴的垂线交直线 AM 于点 R，连结 PR设面 PQR 的面积为 S求 S 与 x 之间的函数解析式；在上述动点 P（x，y）中，是否存在使SPQR=2 的点？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由解解：（1）因为抛物线的顶点为 M（2，4）所以可设抛物线的解析式为y=（x2）24因为这条抛物线过点 A（1，5）所以 5=a(12)24解得 a=1所以所求抛物线的解析式为y=（x2）24（2）设直线 AM 的解析式为 y=kx+b精品 1因为 A（1，5）,M（2，4）所以k b 5，2k b 4解得 k=3，b=2所以直线 AM 的解析式为 y=3x222当 y=0 时，得 x=，即 AM 与 x 轴的交点 B（,0）33（3）显然，抛物线 y=x24x 过原点(0，0当动点 P（x，y）使POQ 是以 P 为顶点、PO 为腰且另一顶点 Q 在 x 轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q（2x，0）因为动点 P 在 x 轴下方、顶点 M 左方，所以 0 x221因为当点 Q 与 B（，0）重合时，PQR 不存在，所以 x，331所以动点 P（x，y）应满足条件为 0 x2 且 x，3因为 QR 与 x 轴垂直且与直线 AM 交于点 R，所以 R 点的坐标为（2x，6x+2）如图 269 所示，作 P HOR 于 H，则 PH=|xQ xP|2x x|x,QR|6x 2|11而 S=PQR 的面积=QRP H=|6x 2|x22下面分两种情形讨论：1当点 Q 在点 B 左方时，即 0 x时，3当 R 在 x 轴上方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2+x；21当点 Q 在点 B 右方时，即x2 时3点 R 在 x 轴下方，所以6x201所以 S=（6x2）x=3x2x；2即 S 与 x 之间的函数解析式可表示为精品 113x2 x(0 x)3S 3x2 x(1 x 2)3（4）当 S=2 时，应有3x2+x=2，即 3x2x+2=0，2显然0，此方程无解或有 3x2x=2，即 3x2x2=0，解得 x1=1，x23当 x=l 时，y=x24x=3，即抛物线上的点 P（1，3）可使 SPQR=2；2当 x=0 时，不符合条件，应舍去3所以存在动点 P，使 SPQR=2，此时 P 点坐标为(1,3)点拨点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B 是直线 AM 与 x 轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线 AM，从而得出与 x 轴的交点 B(3)问中注意的是 Q 点所处位置的不同得出的S 与 x之间的关系也随之发生变化（4）可以先假设存在从而得出结论、综合巩固练习：、综合巩固练习：（100 分90 分钟）1 观察图 2610 中）至中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放记第 n个图中小黑点的个数为 y解答下列问题：填下表：当 n=8 时，y=_；根据上表中的数据，把 n 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，在图 2611 的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中 1n5；请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式精品 12（5 分）图 2612 是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了_块石子3(10 分)已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合），Q 是 BC 边上的动点（与点B、C 不重合）如图 2613 所示，当 PQA C，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 CP 的长；当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范围，若不可能，请说明理由4如图2614 所示，在直角坐标系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线：y=x 及动直线l2：y=x+2a（la1）上方精品 1部分的面积为 S（例如当 a 取某个值时，S 为图中阴影部分的面积），试分别求出当 a=0，a=1 时，相应的 S 的值5（10 分）如图 2615 所示，DE 是ABC 的中位线，B90，AFB C在射线 A F上是否存在点 M，使MEC 与A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由6如图 2616 所示，在正方形 ABCD 中，AB=1，AC是以点 B 为圆心AB 长为半径的圆的一段弧点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作 AC 所在圆的切线，交边 DC 于点 F 石为切点 当 DEF45 时，求证点 G 为线段 EF 的中点；精品 1 设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式；并写出函数的定义域；5 图 2617 所示，将DEF 沿直线 EF 翻折后得 D1EF，当 EF=时，讨论AD1D 与6ED1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由（图 2618 为备用图）7（10 分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为 MN，如图2619（1）所示；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点 B，得 RtABE，如图 2619（2）所示；第三步：沿EB线折叠得折痕 EF，如图 2619所示；利用展开图 2619（4）所示探究：（l）AEF 是什么三角形？证明你的结论（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由精品 18（10 分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；1二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线 y=ax2+2x+3(a0)的顶点的横坐标减少，纵坐标a111增加，得到A 点的坐标；若把顶点的 横坐标增加，纵坐标增加，得到B 点的坐标，aaa则 A、B 两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3(a0)上 请你协助探求出实数a 变化时，抛物线 y=ax2+2x+3(a0)的顶点所在直线的解析式；问题中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；在他们第二个发现的启发下，运用“一般特殊一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由精品 19已知二次函数的图象过A（3，0），B（1，0）两点 当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式；设中所求 M 次函数图象的顶点为P，求 SAPC：SABC的值；如果二次函数图象的顶点 M 在对称轴上移动，并与 y 轴交于点 D，SAMD：SABD的值确定吗？为什么？10（13 分）如图 2620 所示，在 RtABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE，交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且 A FCE 求证：四边形 ACEF 是平行四边形；精品 1 当B 的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论；四边形 ACEF 有可能是正方形吗？为什么？精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1精品 1