《整式的乘法》PPT课件.ppt

同底数幂的乘法,问题：2002年9月，一个国际空间站研究小组发 现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光 年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约 是3105km/s.这颗行星距离地球多远？,=3 31536 105 103 102.,活动1 创设问题情境，激发学生兴趣,an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么?,an,底数,幂,指数,活动2,回顾和思考,合作学习,2322 = ( ) ( ) =_ =2( ) =2( )+( ) ；,(2)102105 = ( ) ( ) =_ =10( ) =10( )+( ) ；,(3) a4 a3 = ( ) ( ) =_ =a( ) =a( )+( ) .,2 2 2,2 2,22 2 22,5,3,2,1010,1010101010,10101010101010,7,2,5,aaaa,aaa,aaaaaaa,7,4,3,请同学们根据自己的理解，完成下列填空.,思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？,猜想: am an =,am an =,m个a,n个a,= aaa,=am+n.,(m+n)个a,同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 am an = am+n (m、n都是正整数),（aaa）,（aaa）,am+n,同底数幂的乘法法则:,条件：乘法 同底数幂 结果：底数不变 指数相加,例1 计算下列各式,结果用幂的形式表示.,(1) 78 73 ； (2) (2)8 (2)7 ；,解:(1) 78 73 = 78+3 = 711 ；,(2) (2)8 (2)7 = (2)8 +7 = (2)15 =215 ；,(3) x3 x5 = x3+5 = x8 ；,(4) (ab)2 (ab) = (ab)2+1 = (ab)3 .,(3) x3 x5 ； (4) (ab)2 (ab).,活动3 知识应用，巩固提高,例2 我国自行研制的“神威I”计算机的峰值运算速度达到每秒3 840亿次.如果按这个速度工作一整天,那么它能运算多少次? (结果保留3个有效数字)?,解: 3 840 亿次 = 3.84 103 108 次, 24时 = 24 3.6 103 秒.,由乘法的交换律和结合律,得 (3.84 103 108) ( 24 3.6 103 ) = (3.84 24 3.6) (103 108 103 ) = 331.776 1014 3.32 1016(次).,答:它一天约能运算3.32 1016次.,活动4 应用提高、拓展创新,计算： 22223242526272829+210.,原式=2102928272625242322+2 =2292928272625242322+2 =2928272625242322+2 = =22+2=6 .,猜想,练一练,运用同底数幂的乘法法则计算下列各式,并用幂的形式表示结果.,27 23 ； (2) (3) 4 ( 3)7 ； (3) (5) 2(5)3(5) 4 ； (4) (x+y) 3 (x+y).,解: (1) 27 23 = 27+3 = 210 ；,(2) (3) 4 (3)7 = (3) 4+7 = (3)11 ；,(3) (5) 2(5)3 (5)4 = (5) 2+3+4 =(5)9 ；,(4) (x+y)3(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 .,同底数幂的乘法性质：,底数 ，指数 .,不变,相加,幂的意义:,注意：同底数幂相乘时,你在知识上有哪些收获，你学到了哪些方法？,幂的乘方,活动1 知识回顾,am an = am+n (m、n都是正整数).,同底数幂相乘，底数不变，指数相加.,（1） ；,（3） ；,（5） ；,（6） .,（2） ；,（4） ；,计算：,看看计算的结果有什么规律？,活动2,(1)(62)4 ； (2)(a2)3 ； (3)(am)2 ； (4)(am)n.,猜想 ： (m、n都是正整数）,（乘方的意义）,（同底数幂乘法的法则）,幂的乘方的运算公式,幂的乘方，底数不变，指数相乘.,(m、n都是正整数）,你能用语言叙述这个结论吗？,在幂的乘方运算中，指数运算降了一级，也就是将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，使问题简便化.,乘法,乘方,不变,不变,指数 相加,指数 相乘,(m、n都是正整数）,公式中的a可表示一个数、字母、式子等.,活动3,计算 (1)(102)3； (2)(b5)5； (3)(an)3； (4)(x2)m； (5)(y2)3y； (6)2(a2)6(a3)4.,下列各式对吗？请说出你的观点和理由： (1) (a4)3=a7 ( ) (2) a4 a3=a12 ( ) (3) (a2)3+(a3)2=(a6)2 ( ) (4) (x3)2=(x2)3 ( ),1下列各式中，与x5m+1相等的是（ ） （A）（x5)m+1 （B）（xm+1)5 （C） x (x5)m （D） x x5 xm,c,2x14不可以写成（ ） （A）x5 (x3)3 （B） (x) (x2) (x3) (x8) （C）(x7)7 （D）x3 x4 x5 x2,C,幂的乘方的逆运算： (1)x13x7=x（ ）=( )5=( )4=( )10； (2)a2m =( )2 =( )m （m为正整数）.,20,x4,x5,x2,am,a2,幂的乘方法则的逆用,活动4,1. 已知39n=37，求：n的值,2. 已知a3n=5，b2n=3，求：a6nb4n的值,3. 设n为正整数，且x2n=2，求9(x3n)2的值,活动5 应用提高、拓展创新,问题 如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？,课堂小结,1.幂的乘方的法则,(m、n都是正整数）,幂的乘方，底数不变，指数相乘.,语言叙述,符号叙述 .,2.幂的乘方的法则可以逆用.即,3.多重乘方也具有这一性质.如,（其中 m、n、p都是正整数）.,积的乘方,复习 1.叙述同底数幂乘法法则并用字母 表示.,2.叙述幂的乘方法则并用字母表示.,语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 字母表示：a ma n= a m+n ( m、n都为正整数).,语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 字母表示：(am)n=amn (m,n都是正整数）.,活动1,活动2,计算 (1)(35)7=3( )5( )； (2)(35)m=3( )5( )； (3)(ab)n=a( )b( ). 你能说出得出结论的理由吗？你能运用自己的语言描述你发现的规律吗？,观察、猜想: (ab)3与a3b3 是什么关系呢？,（ab)3=(ab)(ab)(ab) =(aaa) (bbb)=a3b3,乘方的意义,乘法交换律、结合律,乘方的意义,思考：积的乘方(ab)n =?,公式证明,(ab)n,语言表述：,积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,拓展： 当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一性质 例如， (abc)n=anbncn.,(ab)n=an bn .,积的乘方公式,思考： (a)n= an(n为正整数）对吗？,当n为奇数时， (a)n= an(n为正整数）. 当n为偶数时， (a)n=an(n为正整数）. (体现了分类的思想）,例2 计算 (2a)3; (2)(5b)3; (3)（xy2)2 ; (4)(2x3)4 .,活动3 知识应用，巩固提高,例1 计算 (1) (3x)3; (2)(2b)5; (3)(2xy)4; (4)(3a2)n.,1.口答 (1)(ab)6； (2)(-a)3； (3)(-2x)4 ； (4)( ab)3 ； (5)(-xy)7 ； (6)(-3abc)2 ； (7)(-5)32 ； (8)(-t)53 .,2.计算 (1)(2103)3 ； (2)(- xy2z3)2 ； (3)-4(x-y)23 ； (4)(t-s)3(s-t)4 .,练一练,4.填空： (1) a6y3=( )3; (2)81x4y10=( )2 ; (3)若(a3ym)2=any8, 则m= , n= ; (4)32004( )2004= ; (5) 2855= .,例题： （1） a3 a4 a+(a2)4+(2a4)2 ； （2） 2(x3)2 x3(3x3)3(5x)2 x7 .,注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.,活动4 应用提高、拓展创新,拓展训练1,（5）若n是正整数，且 ，求 的值,（1）若x3= -8a6b9，则x= ； （2）若64582=2x，则x= ； （3） ；,（4）已知16m=422n-2，27 n =93 m+3，求m、n的值；,逆用公式 即,拓展训练2,（1）012516(8) 17； （2）,； （3） .,拓展训练3 已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值.,拓展训练4 猜想: 是否可以把(ab)n=anbn推广？ 即，(abc)n=anbncn吗？大家可以推理一下.,小结 1.本节课的主要内容：积的乘方,幂的运算的三个性质： aman=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数),2. 运用积的乘方法则时要注意什么？,每一个因式都要乘方，还有符号问题.,整式的乘法,问题 光的速度约为3105 千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是 5102 秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？,地球与太阳的距离约是 (310) (510)千米,活动1 创设问题情境，激发学生兴趣,讨论 （）怎样计算(310)(510)? 计算过程中用到哪些运算律及运算性质？ （）如果将上式中的数字改为字母， 比如ac5bc2 ，怎样计算这个式子？,地球与太阳的距离约是： 15 101.5 108（千米）,ac5bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5bc2(ab)(c5c2) = abc5+2 = abc7.,单项式与单项式相乘，把它们的( )、( )分别相( )，对于( )，则连同它的( )作为积的( ),相同字母,指数,系数,只在一个单项式里含有的字母,乘,一个因式,计算： (1) (5a2b)(3a)； (2) (2x)3( 5xy2).,解：(1) ( 5a2b)(3a) = (5)(3)(a2a)b = 15a3b .,(2) (2x)3(5xy2) =8x3(5xy2) =8(5)(x3x)y2 = 40 x4y2.,活动2 例题,练习,.计算： (1)3x25x3; (2) 4y(2xy2) ; (3) (3x2y)3(4x) ; (4) (2a)3(3a)2 .,.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)3a32a2=6a6; (2) 2x2 3x2=6x4 ; (3) 3x2 4x2=12x2; (4) 5y3 y5 = 15y15.,问题 三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a， b ， c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？,一种方法是先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入（单位：元）为： m(a+b+c). ,另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入（单位：元）为： ma+mb +mc . ,由于， 表示同一个量，所以 m(a+b+c) ma+mb +mc.,活动3 探究单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘的法则,单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,例 计算： (1) (4x2) (3x+1)；,解： (1) (4x2) (3x+1) =(4x2) (3x)+(4x2) 1 =(43)(x2 x)+(4x2) = 12x3 4x2.,单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,例 计算： (1) (4x2) (3x+1)；,解： (1) (4x2) (3x+1) =(4x2) (3x)+(4x2) 1 =(43)(x2 x)+(4x2) = 12x3 4x2.,回忆:,.单项式乘单项式的法则.,.单项式乘多项式的法则.,如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？,活动4,分 析,扩大后的绿地面积可以看成一个长方形，其长为(a+b) 米，宽为(m+n)米，所以这块绿地的面积为,(a + b)(mn)米2,扩大后的绿地面积可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积为,因此，(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn ,上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.,分 析,（am+an+bm+bn）米2,推 导,计算(a+b)(m+n)，可以先把m+n看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得,=a(m+n)+b(m+n),=am+an+bm+bn.,换一种看法， (a+b)(m+n)的结果可以看作由a+b的每一项乘m+n的每一项，再把所得的积相加而得到的，即,推 导,(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn ,归 纳,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.,(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn ,1. 计算 (1)(2xy2)(xy); (2)(2a2b3)(3a); (3)(4105)(5104); (4)(3a2b3)2(a3b2)5; (5)(a2bc3)(c5)(ab2c). 2计算 (1)2ab(5ab2+3a2b); (2)(ab22ab)ab; (3)6x(x3y); (4)2a2(ab+b2). 3计算 (1)(1x)(0.6x); (2)(2x+y)(xy); (3)(xy)2; (4)(2x+3)2; (5)(x+2)(y+3)(x+1)(y2).,活动5,问题 若(am+1bn+2)(a2n1b2m)=a5b3，则m+n的值为多少？,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.,小结,(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn ,同底数幂的除法,幂的乘方: (am)n=amn (m、n都是正整数) 积的乘方: (ab)n= anbn (n为正整数) 计算: 1.(a)3(a)2= 2.(ab)5= 3.(ym)3=,a5,a5b5,y3m,活动1 复习,同底数幂的乘法: aman=am+n (m、n都是正整数),一种细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞，细胞分裂的一个周期大约是12时，现有210个细胞经过分裂变成220个细胞，所需的时间大约是多少? 列式： 12 (220 210 )=？,活动2 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容,5,（1）2523,（2）a3a2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,3,a,a,a,a,a,1,2,3,猜想:,aman=?,同底数幂相除的法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即 aman=amn (a0，m、 n都是正整数，且mn).,例1 计算 (1) a9a3； (2) 21227； (3) (x)4 ( x).,口答： (1) s7s3= (2)x10 x8= (3)(t)11 (t)2= (4) (ab)5(ab)= (5)(3)6 (3)2= (6) a100a100=,下列计算对吗？为什么？错的请改正. (1) a6a2=a3 ； (2) S2S=S3 ； (3) (C)4(C)2=C2 ； (4) (x)9 (x )9=1.,活动3 根据除法意义填空，你有什么发现？,（1）5555=_； （2）107107=_； （3）a6a6=_（a0）.,任何不等于0的数的0次幂都是1.,活动4 巩固同底数幂的除法法则,计算：(1)a7a4； (2)(x)6(x)3； (3)(xy)4(xy)； (4)b2m+2b2； (5)(mn)8(nm)3； (6)(m)4(m)2.,计算： (1) (7+x)8 (7+x)7； (2) (abc)5 (abc)3 ； (3) ( )7 ( )3 ； (4) y10 (y 4y 2) ； (5) (y2)3( y)2 ； (6) xnx3nx n1(x n)3； (7) (x+3)5(x+3)3.,小结,;,n,n,整式的除法,木星的质量约是1.901024吨，地球的质量约是5.981021吨，你知道木星的质量约为地球的质量的多少倍么?,谈谈你的计算方法.,活动1 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容,你能利用上面的方法计算下列各式吗?,你能根据上面的结果述说单项式除以 单项式的运算法则吗?,活动2 提炼与引申,单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.,活动3 归纳、总结与比较,单项式与单项式相乘，只要把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.,巩固与练习,底数不变， 指数相减.,保留在商里 作为因式.,(1)(x2y3)(3x2y); (2)(10a4b3c2)(5a3bc); (3)(2x2y)3 (7xy2)(14x4y3); (4)(2a+b)4(2a+b)2.,1.计算：,(2)3a3 (6a6)；,(1)(10ab3)(5b2)；,(3)(12s4t6) (2s2t3)2.,2.下列计算错在哪里？应怎样改正？,活动4 问题引申，探究多项式与单项式相除的法则,计算下列各题，说说你的理由. (1)(ad+bd)d= ; (2)(a2b+3ab)a= ; (3)(xy32xy)(xy)= .,活动5 根据活动4的分析，不难得出： (1)(ad+bd)d=a+b=add+bdd； (2)(a2b+3ab)a=ab+3b=a2ba+3aba； (3)(xy32xy)(xy) =y22=xy3(xy)2xy(xy). 由此，你可以得出什么样的结论？,结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.,计算,(1)(6ab+8b)(2b)； (2)(27a315a2+6a)(3a)； (3)(9x2y6xy2)(3xy)； (4)(3x2yxy2+xy)(xy).,答案：(1) 3a+4； （2）9a25a+2； (3) 3x2y； (4) 3x+y1.,活动6 应用提高、拓展创新,计算： (1)(28a314a2+7a)(7a)； (2)(36x4y324x3y2+3x2y2)(6x2y)； (3)(2x+y)2y(y+4x)8x2x .,答案：(1) 4a22a +1； (2)6x2y2+4xy0.5y； (3) 2x4 .,提高：,小结,单项式相除,1.系数相除；,2.同底数幂相除；,3.只在被除式里的幂不变.,先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.,多项式除以单项式,类比的数学思想,