2020高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第五节 正弦定理和余弦定理检测 理 新人教A版

第五节 正弦定理和余弦定理限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018广东广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos B，则ABC的面积为()A3BC9 D解析：选B.由余弦定理b2c2a22accos B，得716a26a，解得a3，cos B，sin B，SABCcasin B43.故选B.2(2018河南三市联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，sin Asin B1，c2cos C，则ABC的周长为()A33 B2C32 D3解析：选C.因为sin Asin B1，所以ba，由余弦定理得cos C，又c，所以a，b3，所以ABC的周长为32，故选C.3(2018成都外国语学校二模)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是()A. BC. D解析：选C.由正弦定理及sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C可得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，所以0A.故A的取值范围是.故选C.4(2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A解析：选A.因为ABC，sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以sin(AC)2sin Bcos C2sin Acos Ccos Asin C，所以2sin B cos Csin Acos C.又cos C0，所以2sin Bsin A，所以2ba，故选A.5(2018东北三校联考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. BC. D解析：选C.根据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cos B，又0B，所以B，故选C.6(2018长沙模拟)在ABC中，A，b2sin C4sin B，则ABC的面积为_解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，即bc4，故SABCbcsin A42.答案：27(2018山西大同联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos Aacos B)c2，b3，3cos A1，则a的值为_解析：由正弦定理可得2(sin Bcos Asin Acos B)csin C，2(sin Bcos Asin Acos B)2sin(AB)2sin C，2sin Ccsin C，sin C0，c2，由余弦定理得a2b2c22bccos A22322239，a3.答案：38(2018辽宁沈阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c5，B，ABC的面积为，则cos 2A_解析：由三角形的面积公式，得SABCacsin Ba5sin5a，解得a3.由b2a2c22accos B325223549，得b7.由sin Asin Bsin ，cos 2A12sin2A12.答案：9(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，a3，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，由bc8，得bc.故ABC的周长为3.10在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C.(2)若b2c2a2bc，求tan B解：(1)证明：由正弦定理，可知原式可以化简为1，因为A和B为三角形的内角，所以sin Asin B0，则两边同时乘以sin Asin B，可得sin Bcos Asin Acos Bsin Asin B，由和角公式可知，sin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin(C)sin C，sin Csin Asin B，故原式得证(2)由b2c2a2bc，根据余弦定理可知，cos A.因为A为三角形内角，A(0，)，sin A0，则sin A，即，由(1)可知1，所以11，所以tan B4.B级能力提升练11在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. BC D解析：选C.如图，过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则CDBC，ABBC，ACBC，在ABC中，由余弦定理的推论可知，cosBAC，故选C.12(2018六安模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Asin A0，则的值是()A1 BC. D2解析：选B.因为cos Asin A0，所以(cos Asin A)(cos Bsin B)2，所以cos Acos Bsin Asin Bsin Acos Bcos Asin B2，即cos(AB)sin(AB)2，所以cos(AB)1，sin(AB)1，又A，B分别为三角形的内角，所以AB，AB，所以ab，C，所以，故选B.13(2017浙江卷)已知ABC中，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_解析：由余弦定理得cosABC，cosCBD，sinCBD，SBDCBDBCsinCBD22.又cosABCcos 2BDC2cos2BDC1，0BDC，cosBDC.答案：；14在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围解：(1)ABC，cos(BC)cos A，3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A，又sin 2A2sin Acos A，将代入已知，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC为锐角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，(0，)，c(1，4)，SABCbcsin Ac，SABC.15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值解：(1)由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin AsinB因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C.从而sin Asin B2sin C.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立故cos C的最小值为.C级素养加强练16(2018湖北八校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若23cos2 Acos 2A0，且ABC为锐角三角形，a7，c6，求b的值；(2)若a，A，求bc的取值范围解：(1)23cos2 Acos 2A23cos2 A2cos2 A10，cos2 A，又A为锐角，cos A，而a2b2c22bccos A，即b2b130，解得b5(负值舍去)，b5.(2)解法一：由正弦定理可得bc2(sin Bsin C)22sin，0B，B，sin1，bc(，2解法二：由余弦定理a2b2c22bccos A可得b2c23bc，即(bc)233bc(bc)2，当且仅当bc时取等号，bc2，又由两边之和大于第三边可得bc，bc的取值范围为(，28