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第八章 多元函数微积分学,8.1 预备知识,8.2 多元函数的概念,8.3 偏导数与全微分,8.5 多元函数的极值与最值,8.6 二重积分,8.4 复合函数与隐函数微分法,区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,8.1 预备知识,平面方程,一般式：,截距式：,球面方程,标准式：,一般式：,练 习 一,例1：已知平面与 轴、 轴、 轴的截距依次,为3，4，5，则平面方程为。,例2: 球心为（3，4，5）半径为6的球面方,程为。,8.2 多元函数的概念,一、 多元函数的定义 二、 二元函数的极限 三、二元函数的连续性,一、多元函数的定义,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,1.求下列函数的定义域,练 习 二, 则,2. 设,_.,二、二元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,定义 . 设二元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 二元函数,连续.,连续,三、二元函数的连续性,8.3 偏导数与全微分,一、 偏导数 二、 全微分,一、偏导数（重点）,1、,解,例1 求,在点,处的偏导数.,例2 求函数,的偏导数.,解,2、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,例3 设,求,例4. 求函数,解 :,的二阶偏导数.,二、全微分概念,例5. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例6. 计算函数,的全微分.,解:,练 习 三,求,1、设,2、已知,求,3、,求,设,思考：多元函数连续、可导、可 微三者之间的关系？,多元函数连续、可导、可微的关系,8.4 复合函数与隐函数微分法,一、 链锁法则 二、 隐函数求导法则,一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）,以上公式中的导数 称为全导数.,解,解,例9. 设,求全导数,解:,练 习 四,练习四答案,隐函数的求导公式,二、隐函数的求导法则（重点）,解,令,则,解,令,则,1、设, 求,练 习 四,2、求由方程,确定的隐函数,的偏导数,8.5 多元函数的极值与最值,一、 多元函数的极值与最值 二、无条件极值 （重点）,1、二元函数极值的定义,一、多元函数的极值与最值,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,练 习 五,1、,3、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,二、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,练 习 六,例1、设某厂生产两产品，产量为 总利润为 已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？ （3.8，2.2）,例2、设企业在雇用 名技术人员、名非技术人员时，产品的产量 若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少技术人员、多少非技术人员才能使产量最大？（90，140）,
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