（通用版）高三数学二轮复习第一部分基础送分题题型专题（八）排列组合与二项式定理教师用书理

题型专题(八)排列组合与二项式定理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘题组练透1某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案共有()A16种 B18种 C37种 D48种解析：选C三个班去四个工厂不同的分配方案共有43种，甲工厂没有班级去的分配方案共有33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337种2(2016全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9解析：选B 由题意可知EF有C种走法，FG有C种走法，由分步乘法计数原理知，共CC18种走法，故选B.3如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920解析：选A分8类，当中间数为2时，有122个；当中间数为3时，有236个；当中间数为4时，有3412个；当中间数为5时，有4520个；当中间数为6时，有5630个；当中间数为7时，有6742个；当中间数为8时，有7856个；当中间数为9时，有8972个故共有26122030425672240个凸数技法融会1两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化2(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键.名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同题组练透1(2016兰州模拟)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A24种 B12种 C10种 D9种解析：选B第一步，为甲校选1名女教师，有C2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有26112种，选B.2(2016四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72解析：选D第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)3(2016长春质检)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有()A18种 B27种 C37种 D212种解析：选C由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C，有35种方式共计37种取法故选C.4(2016河南八市联考)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15 B20 C30 D42解析：选C四个篮球中两个分到一组有C种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与其余两个篮球全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CAA36630种分法技法融会解答排列组合问题的4个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.1通项公式与二项式系数Tk1Cankbk(k0，1，2，n)，其中C叫做二项式系数提示：Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项2各二项式系数之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.题组练透1(2016河北五校联考)在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A960 B960 C1 120 D1 680解析：选C根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(12x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n256，n8，则(12x)8的展开式的中间项为第5项，且T5C(2)4x41 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.2(2016山西四校联考)已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于()A5 B5 C90 D180解析：选D(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22180.3(2016天津高考)的展开式中x7的系数为_(用数字作答)解析：的通项Tr1C(x2)8r(1)rCx163r，当163r7时，r3，则x7的系数为(1)3C56.答案：564(2016广州模拟)若展开式中的常数项为40，则a_.解析：展开式的第r1项为Tr1C(2x)5rC25rx52r，因为(2x)5的展开式中的常数项为40，所以axC22x1C23x40，所以40a8040，解得a3.答案：3技法融会1利用二项式定理求解的2种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值2(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点：(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；(2)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置.二项式定理与其他知识的交汇近年，对二项式定理的考查由单一考查向交汇考查转变，在考查时，多与定积分、直线的方程、指数式与对数式的运算相结合，复习时，应引起重视新题速递1(2016贵州模拟)二项式(nN*)展开式中存在常数项的一个充分条件是()An5 Bn6 Cn7 Dn9解析：选B二项式展开式的第r1项是C(1)rxn2r，若存在常数项，则n2r，即n是偶数，所以n6是展开式中存在常数项的充分条件，选项B正确2(2016广州五校联考)若的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.解析：的展开式的通项为Tr1Ca6rbrx123r，令123r3，得r3，的展开式中x3项的系数为Ca3b320，ab1，log2alog2blog2ablog210.答案：03(2016兰州模拟)(mx)(1x)3的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为16，则xmdx_.解析：(mx)(1x)3(mx) (Cx3Cx2CxC)，所以x的奇数次幂项的系数之和为mCmCCC16.解得m3，所以xmdxx3dxx4|0.答案：0技法融会此类问题一般难度较小，主要体现在知识间的交汇，求解时，只要理清知识间的关系，然后对每个知识点逐一击破，问题便得以解决一、选择题1设M，N是两个非空集合，定义MN(a，b)|aM，bN，若P0，1，2，3，Q1，2，3，4，5，则PQ中元素的个数是()A4 B9 C20 D24解析：选C依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4520种不同取法，共有20个不同元素，故选C.2从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A224 B112 C56 D28解析：选B根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC112种3(2016四川高考)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4解析：选A二项式的通项为Tr1Cx6rir，由6r4，得r2.故T3Cx4i215x4.故选A.4若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种解析：选D从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即CC60种方法；第三类是取四个奇数，即C5，故有560166种方法5(2016南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A30种 B36种 C60种 D72种解析：选A甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36630种6已知(x2)15a0a 1(1x)a 2(1x)2a 15(1x)15，则a 13的值为()A945 B945 C1 024 D1 024解析：选B由(x2)153(1x)15a0a1(1x)a2(1x)2a15(1x)15，得a13C32(1)13945.7某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B168 C144 D120解析：选D先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空(1)小品1，相声，小品2.有AA48；(2)小品1，小品2，相声有ACA36；(3)相声，小品1，小品2.有ACA36.共有483636120种8(2016海口调研)若(x2a)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2解析：选D依题意，注意到的展开式的通项公式是Tr1Cx10rCx102r，的展开式中含x4(当r3时)、x6(当r2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，选D.9若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A360 B180 C90 D45解析：选B依题意知n10，Tr1C()10rC2rx5r，令5r0，得r2，常数项为C22180.10(2016全国丙卷)定义“规范01数列”an如下： an 共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个 C14个 D12个解析：选C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.11若(12x)2 016a0a1xa2x 2a 2 016 x 2 016，则的值为()A2 B0 C1 D2解析：选C当x0时，左边1，右边a0，a 01.当x时，左边0，右边a 0，01.即1.12(2016河北五校联考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析：选C由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取出2张红色卡片有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472种，选C.二、填空题13(2016山东高考)若的展开式中x5的系数是80，则实数a_解析：Tr1C(ax2)5rCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.答案：214(2016湖南东部六校联考)若的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_解析：令x1，得的展开式中各项系数之和为(31)n12827，故n7.则二项式的通项Tr1Tr1C(3x)7r(x)r(1)r37rCx7rr，令7r3，得r6，故展开式中的系数是(1)6376C21.答案：2115将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同分法的种数是_解析：5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A96.答案：9616若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则函数f(x)a2x2a1xa0的单调递减区间是_解析：(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，a01，a1C5，a2C10，f(x)10x25x110，函数f(x)的单调递减区间是.答案：全取送分、保分题就能稳进一本线8