2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第5讲 数学归纳法练习 理 北师大版

第5讲 数学归纳法 基础题组练1用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk()Aa1(k1)dBCka1d D(k1)a1d解析：选C.假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d.2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)3成立，则f(1)2成立D若f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立解析：选D.当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，说明如果当kn时，f(n)n1成立，那么当kn1时，f(n1)n2也成立，所以如果当k4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k1也成立3用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D解析：选C.因为当nk时，左端1，当nk1时，左端1.所以，左端应在nk的基础上加上.4已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.5利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN+)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k1)g(k)1，其项数为2k112k12k12k2k.故左边增加了2k项6用数学归纳法证明11)时，第一步应验证的不等式是_解析：由nN+，n1知，n取第一个值n02，当n2时，不等式为12.答案：1，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案：8用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析：不等式的左边增加的式子是，故填.答案：9用数学归纳法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，原等式成立(2)假设nk(k1，kN+)时等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意nN+，都有12223242(1)n1n2(1)n1.10已知f(n)1，g(n)，nN+.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1，2，3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN+)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN+，都有f(n)g(n)成立综合题组练1已知整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN+)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1且x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立2已知数列xn满足x1，且xn1(nN+)(1)用数学归纳法证明：0xn0，即xk10.又因为xk110，所以0xk11.综合可知0xn1.(2)由xn1可得1，即an12an1，所以an112(an1)令bnan1，则bn12bn，又b1a1111，所以bn是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn2n1，所以an2n11.3将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN+，k1)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，所以当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)可知，对于任意的nN+，S1S3S5S2n1n4都成立6