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课后限时集训29平面向量的基本定理及坐标表示建议用时:45分钟一、选择题1设平面向量a(1,0),b(0,2),则2a3b等于()A(6,3)B(2,6)C(2,1)D(7,2)B2a3b(2,0)(0,6)(2,6)2已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2),b(m,3m2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(,为实数),则实数m的取值范围是()A(,2)B(2,)C(,)D(,2)(2,)D由题意可知a与b不共线,即3m22m,m2.故选D.3若向量a(2,1),b(1,2),c,则c可用向量a,b表示为()AcabBcabCcabDcabA设cxayb,易知cab.故选A.4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若(,为实数),则22等于()A.B.C1D.A法一:(),所以,故22,故选A.法二:本题也可以用特例法,如取ABCD为正方形,解略5已知向量a(1,1),b(1,2),若(ab)(2atb),则t()A0B.C2D3C由题意得ab(2,1),2atb(2t,22t)因为(ab)(2atb),所以2(22t)(1)(2t),解得t2,故选C.6如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,a,b,则()AabB.abCabD.abD连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CDAB且a,所以ba.7(2019厦门模拟)已知|1,|,0,点C在AOB内,且与的夹角为30,设mn(m,nR),则的值为()A2B.C3D4C0,以所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),(1,0),(0,),mn(m,n)tan 30,m3n,即3,故选C.二、填空题8在ABCD中,AC为一条对角线,(2,4),(1,3),则向量的坐标为_(3,5),(1,1),(3,5)9已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且(),则|_.2由()()知,点D是线段AC的中点,故D(2,2),所以(2,2)故|2.10平行四边形ABCD中,e1,e2,则_.(用e1,e2表示)e1e2如图,2()e2(e2e1)e1e2.1如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为()Ae1e2B2e1e2C2e1e2D2e1e2B以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),由题意可得e1(1,0),e2(1,1),a(3,1),因为axe1ye2x(1,0)y(1,1)(xy,y),则解得故a2e1e2.2. (2019南充模拟)如图,原点O是ABC内一点,顶点A在x轴上,AOB150,BOC90,|2,|1,|3,若,则()AB.CD.D由题可得A(2,0),B,C.因为,所以由向量相等的坐标表示可得解得所以,故选D.3已知ABC和点M满足0,若存在实数m使得m成立,则m_.3由已知条件得,M为ABC的重心,(),即3,则m3.4如图,已知ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且e1,e2,则_;_.(用e1,e2表示)e1e2e1e2设x,y,则x,y.由,得(2),得x2xe12e2,即x(e12e2)e1e2,所以e1e2.同理可得y(2e1e2),即e1e2.1已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且x,y(x,y0),则3xy的最小值是()A.B.C.D.B设BC的中点为D,则.M,G,N三点共线,1.又x0,y0,3xy(3xy)2.当且仅当,即x时取等号,3xy的最小值是.故选B.2矩形ABCD中,AB,BC,P为矩形内一点,且AP,若(,R),则的最大值为_建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),B(,0),C(,),D(0,)AP,x2y2.点P满足的约束条件为(,R),(x,y)(,0)(0,),xy.xy,当且仅当xy时取等号,的最大值为.- 6 -
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