2020版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系分层演练 理（含解析）新人教A版选修4-4

第1讲 坐标系1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则所以4x29y236，即1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解：(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.3从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值解：(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)则012.因为0cos 4，所以3cos ，即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即y2.知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.4(2019沈阳市教学质量检测(一)在直角坐标系xOy中，直线l：yx，圆C：(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积解：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21，因为xcos ，ysin ，所以直线l的极坐标方程为(R)圆C的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2，|MN|12|，因为圆C的半径为1，所以CMN的面积为1sin .5(2019河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 5，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)因为圆C的参数方程为(为参数)，所以圆心C的坐标为(0，2)，半径为2，圆C的普通方程为x2(y2)24.(2)将xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin .设P(1，1)，则由解得12，1.设Q(2，2)，则由解得25，2.所以|PQ|3.1(2019河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C：4acos (a0)，l：cos4，C与l有且只有一个公共点(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且AOB，求|OA|OB|的最大值解：(1)由题意，得曲线C是以(2a，0)为圆心，以2a为半径的圆l的直角坐标方程为xy80，由直线l与圆C相切可得2a，解得a(舍负)(2)不妨设A的极角为，B的极角为，则|OA|OB|cos cos8cos sin cos，所以当时，|OA|OB|取得最大值.2(2019成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，)，其中(，)(1)求的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2(y2)24，因为xcos ，ysin ，所以曲线C的极坐标方程为(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，因为(，)，所以.(2)由题，易知直线l的普通方程为xy40，所以直线l的极坐标方程为cos sin 40.又射线OA的极坐标方程为(0)，联立，得，解得4.所以点B的极坐标为，所以|AB|BA|422.3在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2(13sin2)4.曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1、C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A、B都在曲线C1上，求的值解：(1)因为C1的极坐标方程为2(13sin2)4，所以2(cos24sin2)4，即(cos )24(sin )24，即x24y24，所以该曲线C1的直角坐标方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得22a，所以a2，所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2.所以，.所以.5