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课后限时集训14变化率与导数、导数的计算建议用时：45分钟一、选择题1下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2sin xBx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，故选项B正确2(2019成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(其中e为自然对数的底数)，则f(e)()A1B1 CeDe1D由已知得f(x)2f(e)，令xe，可得f(e)2f(e)，则f(e).故选D.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末B1秒末和2秒末C4秒末D2秒末和4秒末Ds(t)t26t8，由导数的定义可知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.4(2019贵阳模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线方程为()Ay2xeBy2xeCy2xeDyx1A对yxln x求导可得yln x1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e12，因此切线方程为ye2(xe)，即y2xe.故选A.5已知直线yax是曲线yln x的切线，则实数a()A. B.C. D.C设切点坐标为(x0，ln x0)，由yln x的导函数为y知切线方程为yln x0(xx0)，即yln x01.由题意可知解得a.故选C.二、填空题6.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图像如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_xy20根据导数的几何意义及图像可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.7若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_(，0)由题意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)8设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为_(1，1)或(1,1)由题意知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1,1)三、解答题9已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.10已知函数f(x)x32x23x(xR)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyxD因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.2曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B4e2C2e2De2D易知曲线ye在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.ye，kee2，切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面积为S2|e2|e2.3若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yex的切线，则b_.0或1设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)，yln x2的导数为y，yex的导数为yex，可得kex2.又由k，消去x2，可得(1ln x1)(x11)0，则x1或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为，1或(1,2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0,1)，所以ke或k1，则切线方程为yex或yx1，可得b0或1.4已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.1定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_因为f(x)x3x21，所以f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0得x，故x的取值范围是.2已知函数f(x)ax3bx2cx在x1处取得极值，且在x0处的切线的斜率为3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解(1)f(x)3ax22bxc，依题意又f(0)3，所以c3，所以a1，所以f(x)x33x.(2)设切点为(x0，x3x0)，因为f(x)3x23，所以f(x0)3x3，所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)又切线过点A(2，m)，所以m(x3x0)(3x3)(2x0)，所以m2x6x6，令g(x)2x36x26，则g(x)6x212x6x(x2)，由g(x)0得x0或x2，g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2，画出草图知，当6m2时，g(x)2x36x26有三个解，所以m的取值范围是(6,2)- 5 -
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