2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明练习 理 北师大版

第4讲 直接证明与间接证明 基础题组练1用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.2分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：选C.ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选C.3(2020江西抚州模拟)设a，bR，现给出下列五个条件：ab2；ab2；ab2；ab1；logab0，且a1)其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A BC D解析：选D.ab1时，ab2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；当ab0时，ab2，推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；当ab2时，ab1，推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；对于，假设a，b都不大于1，即a1，b1，则ab2，与ab2矛盾，所以能推出a，b中至少有一个大于1；对于，假设a，b都不大于1，则logabloga10，与logab0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，函数f(x)递减，可知f(x)是R上的减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)b0，则bc2；a2b2；，其中正确的序号是_解析：对于，因为ab0，所以ab0，0，ab，即.故正确；当c0时，不正确；由不等式的性质知正确答案：7已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN+，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，所以cn随n的增大而减小，所以cn1cn.答案：cn10，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.10已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明：abab0，要证.只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证综合题组练1已知a，b，cR，若1且2，则下列结论成立的是()Aa，b，c同号Bb，c同号，a与它们异号Ca，c同号，b与它们异号Db，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由1知与同号，若0且0，不等式2显然成立，若0且0，0，2 2，即0且0，即a，b，c同号2在等比数列an中，“a1a2a3”是“数列an递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1q0，则1q1，此时，显然数列an是递增数列，若a1qq2，即0q1，此时，数列an也是递增数列，反之，当数列an是递增数列时，显然a1a2a3.故“a1a22时，关于x，y，z的方程xnynzn没有正整数解”经历三百多年，于二十世纪九十年代中期，英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理则下面说法正确的是()A至少存在一组正整数组(x，y，z)，使方程x3y3z3有解B关于x，y的方程x3y31有正有理数解C关于x，y的方程x3y31没有正有理数解D当整数n3时，关于x，y，z的方程xnynzn没有正实数解解析：选C.由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个假设关于x，y的方程x3y31有正有理数解，则x，y可写成整数比值的形式，不妨设x，y，其中m，n为互质的正整数，a，b为互质的正整数，代入方程得1，两边同时乘以a3n3，得(am)3(bn)3(an)3.由于am，bn，an都是正整数，这与费马大定理矛盾，所以假设不成立，所以关于x，y的方程x3y31没有正有理数解故选C.4(一题多解)若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1，1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_解析：法一(补集法)：令解得p3或p，故满足条件的p的取值范围为.法二(直接法)：依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故满足条件的p的取值范围是.答案：5已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.解：(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)0有两个不等实根x1，x2，因为f(c)0，所以x1c是f(x)0的根，又x1x2，所以x2，所以是f(x)0的一个根(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，所以c，又因为c，所以c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，所以b1ac.又a0，c0，所以b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即0，所以b2，所以2b2)使函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上是减少的，所以有即解得ab，这与已知ab矛盾故不存在常数a与b使h(x)是“四维光军”函数7