2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理 北师大版

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系基础题组练1(2020江西上饶一模)直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交B相切C相离 D不能确定解析：选B.将圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径r.因为圆心到直线axby0的距离dr，所以直线与圆相切故选B.2圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个3(2020湖南十四校二联)已知直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.或 B或C. D解析：选B.因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a，故选B.4已知圆O1的方程为x2(y1)26，圆O2的圆心坐标为(2，1)若两圆相交于A，B两点，且|AB|4，则圆O2的方程为()A(x2)2(y1)26B(x2)2(y1)222C(x2)2(y1)26或(x2)2(y1)222D(x2)2(y1)236或(x2)2(y1)232解析：选C.设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)因为圆O1的方程为x2(y1)26，所以直线AB的方程为4x4yr2100，圆心O1到直线AB的距离d，由d2226，得2，所以r2148，r26或22.故圆O2的方程为(x2)2(y1)26或(x2)2(y1)222.5(2020广东湛江一模)已知圆C：(x3)2(y3)272，若直线xym0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m()A2或10 B4或8C4或6 D2或4解析：选B.圆C：(x3)2(y3)272的圆心C的坐标为(3，3)，半径r6，因为直线xym0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为，则有d，解得m4或8，故选B.6已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A，B两点，且|AB|，则_解析：在OAB中，|OA|OB|1，|AB|，可得AOB120，所以11cos 120.答案：7已知圆C：(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等，则b_解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|CB|可知，圆心C(1，2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是1，解得b.答案：8(2020广东天河一模)已知圆C的方程为x22xy20，直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，则当ABC面积最大时，直线l的斜率k_解析：由x22xy20，得(x1)2y21，则圆的半径r1，圆心C(1，0)，直线l：kxy22k0与圆C交于A，B两点，当CA与CB垂直时，ABC面积最大，此时ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d，则有，解得k1或7.答案：1或79圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2，1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)24，相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.10已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为.综合题组练1(2020安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x3)2(ya)24上存在两点A，B满足：AOB60，则实数a的最大值是()A5 B3C. D2解析：选C.根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线xa上，分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，AOB越小，如图：当a0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且AOB60，此时a取得最大值，此时AOC30，有|OC|2|AC|4，即(30)2(a0)216，解得a，故实数a的最大值是，故选C.2(2020安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线ykx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()A. BC2 D4解析：选D.如图，因为圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为，所以圆心坐标为(，2)，设过原点与圆相切的直线方程为yk1x，由圆心到直线的距离等于半径，得2，解得k10(舍去)或k14.所以若圆C上存在点M，使得直线OM与直线ykx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为4.故选D.3(2020安徽皖南八校联考)圆C与直线2xy110相切，且圆心C的坐标为(2，2)，设点P的坐标为(1，y0)若在圆C上存在一点Q，使得CPQ30，则y0的取值范围是()A. B1，5C2，2 D22，22解析：选C.由点C(2，2)到直线2xy110的距离为，可得圆C的方程为(x2)2(y2)25.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，CPQ30，可得sinCPQsin 30，即CP2，则2，解得2y02.故选C.4(2020河南洛阳二模)已知直线xy20与圆O：x2y2r2(r0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且35，则r_解析：如图，过O作OEAB于点E，连接OA，则|OE|，易知|AE|EB|，不妨令|AD|5m(m0)，由35可得|BD|3m，|AB|8m，则|DE|4m3mm，在RtODE中，有()2m2，在RtOAE中，有r2()2(4m)2，联立，解得r.答案：5已知H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求H的方程；(2)若存在过点P(a，0)的直线与H相交于M，N两点，且|PM|MN|，求实数a的取值范围解：(1)设H的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)，因为H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线xy10，xy30的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m2，n1.又H截x轴所得线段的长为2，所以r212n22.所以H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在H上，所以(x02)2(y01)22，2，即(x0a4)2(y02)28，设I：(xa4)2(y2)28，由知H与I：(xa4)2(y2)28有公共点，从而2|HI|2，即3，整理可得2a24a518，解得2a1或3a2，所以实数a的取值范围是2，13，26.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一直线与圆O：x2y24相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kANkBN为定值解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m0)，则圆C的半径为m，又|MN|3，所以m24，解得m，所以圆C的方程为(y2)2.(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kANkBN0，即kANkBN0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x1ty，将x1ty代入x2y240，并整理得(t21)y22ty30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，则kANkBN0.综上可知，kANkBN为定值8