2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程练习 理 北师大版

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第3讲 圆的方程基础题组练1圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析:选A.设圆心为(0,a),则1,解得a2,故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2(2020河北省九校第二次联考)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x4y40与圆C相切,则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30解析:选C.由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0),则2,解得m2或m(舍去),故所求圆的方程为(x2)2y24,即x2y24x0.故选C.3方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析:选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆4(一题多解)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(8,0),以OA为直径的圆与直线y2x在第一象限的交点为B,则直线AB的方程为()Ax2y80 Bx2y80C2xy160 D2xy160解析:选A.法一:如图,由题意知OBAB,因为直线OB的方程为y2x,所以直线AB的斜率为,因为A(8,0),所以直线AB的方程为y0(x8),即x2y80,故选A.法二:依题意,以OA为直径的圆的方程为(x4)2y216,解方程组,得或(舍去),即B,因为A(8,0),所以kAB,所以直线AB的方程为y0(x8),即x2y80,故选A.5(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x1)2(y2)24上一点,A(0,6),B(4,0),则|的最大值为()A.2 B4C24 D22解析:选C.取AB的中点D(2,3),则2,|2|,|的最大值为圆心C(1,2)与D(2,3)的距离d再加半径r,又d,所以dr2.所以|2|的最大值为24.故选C.6点M,N是圆x2y2kx2y40上的不同两点,且点M,N关于直线xy10对称,则该圆的半径为_解析:圆x2y2kx2y40的圆心坐标为.因为点M,N在圆x2y2kx2y40上,且点M,N关于直线xy10对称,所以直线xy10经过圆心,即110,k4.所以圆的方程为x2y24x2y40,圆的半径为3.答案:37已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2xy0的距离为,则圆C的方程为_解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a0,所以圆心到直线2xy0的距离d,解得a2,所以圆C的半径r|CM|3,所以圆C的方程为(x2)2y29.答案:(x2)2y298已知点P(2,2),圆C:x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为_解析:圆C的方程可化为x2(y4)216,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则(x,y4),(2x,2y)由题设知0,故x(2x)(y4)(2y)0.即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.答案:(x1)2(y3)229(一题多解)一个圆与y轴相切,圆心在直线x3y0上,且在直线yx上截得的弦长为2,则该圆的方程为_解析:法一:因为所求圆的圆心在直线x3y0上,所以设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,所以半径r3|a|,又所求圆在直线yx上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线yx的距离d,所以d2()2r2,即2a279a2,所以a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29,即x2y26x2y10或x2y26x2y10.法二:设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2,则圆心(a,b)到直线yx的距离为,所以r27,即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切,所以r2a2,又因为所求圆的圆心在直线x3y0上,所以a3b0,联立,解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29,即x2y26x2y10或x2y26x2y10.法三:设所求圆的方程为x2y2DxEyF0,则圆心的坐标为,半径r.在圆的方程中,令x0,得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切,所以0,则E24F.圆心到直线yx的距离为d,由已知得d2()2r2,即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上,所以D3E0.联立,解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.答案:x2y26x2y10或x2y26x2y1010设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1,y1),B(x2,y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160,故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8,解得k1(舍去),k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.综合题组练1自圆C:(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析:选D.由题意得,圆心C的坐标为(3,4),半径r2,如图因为|PQ|PO|,且PQCQ,所以|PO|2r2|PC|2,所以x2y24(x3)2(y4)2,即6x8y210,所以点P的轨迹方程为6x8y210,故选D.2设点P是函数y的图象上的任意一点,点Q(2a,a3)(aR),则|PQ|的最小值为()A.2 BC.2 D2解析:选C.如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(1,0),点Q在直线l:x2y60上过圆心C作直线l的垂线,垂足为点A,则|CA|,|PQ|min|CA|22.故选C.3(2020福建厦门一模)在ABC中,AB4,AC2,A,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则的最小值为_解析:如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系则A(0,0),B(4,0),C(1,),设P(x,y),则(4x,y),(1x,y),所以(4x)(1x)y(y)x25xy2y43,其中表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min|AM|111,所以()min(1)2352.答案:524已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|4.则直线CD的方程为_,圆P的方程为_解析:由题意知,直线AB的斜率k1,中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1),即xy30.设圆心P(a,b),则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4,所以|PA|2,所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3,6)或P(5,2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.答案:xy30(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)2405已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程解:(1)由D2E24F0得(2)2(4)24m0,解得m0,x1x2m,x1x22m.令x0,得y2m,即C(0,2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则0,得x1x24m20,即2m4m20,所以m0或m.由0得m8,所以m,此时C(0,1),AB的中点M即圆心,半径r|CM|,故所求圆的方程为y2.(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0,将点C(0,2m)代入可得E12m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0,整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.8
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