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解析几何(10)12019重庆西南大学附中检测已知圆C：x2y22x4y30.(1)若直线l过点(2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足|PM|PO|，求点P的轨迹方程解析：(1)x2y22x4y30可化为(x1)2(y2)22.当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，易求得直线l与圆C的交点为A(2,1)，B(2,3)，|AB|2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x2)，即kxy2k0，则圆心C到直线l的距离d1，解得k，所以直线l的方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CMPM，所以PMC为直角三角形，所以|PM|2|PC|2|MC|2.设P(x，y)，由(1)知C(1,2)，|MC|.因为|PM|PO|，所以(x1)2(y2)22x2y2，化简得点P的轨迹方程为2x4y30.22019贵州省适应性考试已知椭圆G：1(ab0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，F1MF2120，MF1F2的面积为.(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2y21相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点若|AQ|BP|，求实数t的值解析：(1)由椭圆性质，知|MF2|a，于是casin 60a，bacos 60a.所以MF1F2的面积S(2c)b(a)，解得a2，b1.所以椭圆G的方程为y21.(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为yk(xt)由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d1，即k2t2k21，联立化简得(14k2)x28tk2x4(t2k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.设Q(x0，y0)，有解得x0.由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1x2tx0.因此t，化简得k2，将其代入式，可得t.32019安徽五校联盟质检已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|，且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围解析：(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2，又r1r22a，r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2，得a2，c1，b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)联立方程，得消去y得(34k2)x28kmx4m2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且48(34k2m2)0，设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0，y0kx0m，|AQ|BQ|，ABQM，又Q，M为AB的中点，k0，直线QM的斜率存在，kkQMk1，解得m，把代入得34k22，整理得16k48k230，即(4k21)(4k23)0，得k或kb0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点(1，)(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x相交于点B时，求证：FAB为直角三角形解析：(1)由题意得，1，又a2b2c2，所以b21，a24，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，联立得得(4k21)x28kmx4m240，64k2m216(4k21)(m21)0得m24k210.设A(x1，y1)，则x1，y1kx1mm，即A.易得B，F(，0)，则，110，所以，即FAB为直角三角形52019河南郑州一测设M为圆C：x2y24上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 ，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：ykxm与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析：(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)，2 ，2(x0x，y)(0，y0)，即x0x，y0y，又点M在圆C：x2y24上，xy4，将x0x，y0y代入得1，即轨迹E的方程为1.(2)由(1)可知D(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得整理得(34k2)x28mkx4(m23)0，(8mk)24(34k2)(4m212)16(12k23m29)0，即34k2m20，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，|，即0，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y20，240，7m216mk4k20，解得m2k或mk，均满足34k2m20.当m2k时，l的方程为ykx2kk(x2)，直线恒过点(2,0)，与已知矛盾；当mk时，l的方程为ykxkk，直线恒过点.直线l过定点，定点坐标为.62019安徽合肥一检设椭圆C：1(ab0)的离心率为，圆O：x2y22与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解析：(1)由椭圆的离心率为知，bc，ab，则椭圆C的方程为1.易得A(，0)，则由题意知点(，)在椭圆C上，所以1，解得所以椭圆C的方程为1.(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x，由(1)知，M(，)，N(，)，(，)，(，)，0，所以OMON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，即m22(k21)联立直线和椭圆的方程，得消去y，得(12k2)x24kmx2m260，则又(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20，所以OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，都有OMON.在RtOMN中，易知OMPNOP，所以|PM|PN|OP|22，为定值6
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