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课时作业60坐标系1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)2已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)2x2y2，xcos ，ysin ，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，22cos 2sin 0，圆C的极坐标方程为2sin.又直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得yx1，直线l的极坐标方程为sin cos .(2)当时，|OP|2sin2，点P的极坐标为，|OQ|，点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.3在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标解：(1)由于x2y22，xcos ，ysin ，则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为y21.点R的直角坐标为(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意，可令Q(2，sin )，则|PQ|2cos ，|QR|2sin ，所以|PQ|QR|42sin，当时，(|PQ|QR|)min2.所以矩形PQRS周长的最小值为4，且P.4(2019福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解：(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.5在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A，B都在曲线C1上，求的值解：(1)C1的参数方程为C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得22a，a2，圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2.，.6(2019山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x4.曲线C的参数方程是(为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)若射线与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围解：(1)由cos x，得直线l的极坐标方程为cos 4.曲线C的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22，即x2y22x2y0，将x2y22，xcos ，ysin 代入上式得22cos 2sin ，所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin .(2)设A(1，)，B(2，)，则12cos 2sin ，2，所以(sin 2cos 2)sin，因为0，所以2，所以sin1，所以0)，Q的极坐标为(1，)(10)，则|OP|，|OQ|1，由|OQ|OP|4得C2的极坐标方程为2cos(0)，所以cos sin ，两边乘得2cos sin ，因为2x2y2，cos x，sin y，所以x2y2xy0，所以C2的直角坐标方程为221(x2y20)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设及(1)知|OA|2，B2cos，于是AOB的面积S|OA|BsinAOB2cos22，当0时，S取得最大值.所以AOB面积的最大值为.8(2019河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标解：(1)x2(y1)21即x2y22y0，因为2x2y2，sin y，所以圆C的极坐标方程为22sin ，即2sin .(cos sin )5即cos sin 5，因为cos x，sin y，所以直线l的直角坐标方程为yx5.(2)曲线C：x2(y1)21是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆设圆上点A(x0，y0)到直线l：yx5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：yx5平行即直线CA与l的斜率的乘积等于1，即()1.因为点A在圆上，所以x(y01)21，联立可解得x0，y0或x0，y0.所以点A的坐标为或.又由于圆上点A到直线l：yx5的距离最小，所以点A的坐标为，点A的极径为 ，极角满足tan 且为第一象限角，则可取.所以点A的极坐标为.6
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