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课后限时集训(二十九)等差数列及其前n项和(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1(2019南宁模拟)等差数列an中，a3a76，则an的前9项和等于()A18B27C18D27BS927.故选B2数列an满足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，则a3a4a5()A9 B10 C11 D12D由2anan1an1(n2)可知数列an为等差数列，a2a4a6a3a4a512.故选D3公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a63a4，且S10a4，则的值为()A15 B21 C23 D25D由题意得a15d3(a13d)，a12D25，故选D4在数列an中，a13，an1，则a4()A. B1 C. DAan1，又a13，数列是以为首项，为公差的等差数列，即an.a4.故选A.5(2019四川棠湖中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，4，则Sn取最大值时的n为()A4 B5C6 D4或5B由an为等差数列，所以a5a32d4，即d2.由a19，所以an2n11.所以数列an为递减数列，即Sn存在最大值由解得4.5n5.5.所以Sn取最大值时的n为5，故选B二、填空题6(2018北京高考)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_an6n3a13，a2a5a1a636，a633，公差d6，ana1(n1)d3(n1)66n3.7正项数列an满足a11，a22,2aaa(nN*，n2)，则a7_.由2aaa(nN*，n2)，得数列a是等差数列，公差daa3，首项a1，所以a13(n1)3n2，an，a7.8(数学文化)九章算术是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是_15斤由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a14，a52，则S515，故金箠重15斤三、解答题9(2019太原模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0190.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解(1)设公差为d，则由S2 01902 019a1d0a11 009d0，da1，a1ana1，所以Sn(a1an)a1(2 019nn2)因为a10，nN*，所以当n1 009或1 010时，Sn取最小值505a1.(2)ana1，Snan(2 019nn2)a1.因为a10，所以n22 021n20200即(n1)(n2 020)0，解得1n2 020.故所求n的取值集合为n|1n2 020，nN*10已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)已知数列bn满足bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.B组能力提升1若an是等差数列，首项a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2 019B2 020C4 038D4 039C因为a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，所以d0，a2 0190，a2 0200，所以S4 0380，S4 0394 039a2 0200，所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 038.2已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，则m()A2 B3 C4 D5DSm12，Sm0，Sm13，am2，am13，公差d1.又Sm0，a1am0，a12.am2(m1)12，m5.3已知等差数列2,6,10，190，和等差数列2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列an，则数列an的通项公式an_.12n10两个等差数列的公共项为2,14,26，即新数列的首项为2，公差为12，故an2(n1)1212n10.4(2018绵阳三模)已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，数列的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值解(1)由已知a1anS1Sn，可得当n1时，aa1a1，可解得a10或a12.当n2时，由已知可得a1an1S1Sn1，从而可得a1(anan1)an.若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.若a12，则2(anan1)an，化简得an2an1，即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an2n.综上所述，数列an的通项公式为an0或an2n.(2)因为an0，故an2n.设bnlog2，则bnn5，显然bn是等差数列，由n50，得n5，且b50，所以当n4或n5时，Tn最小，最小值为T4T510.- 5 -
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