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专题限时集训(五)概率专题通关练(建议用时：30分钟)1一题多解(2019全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5B0.6C0.7D0.8C法一：设调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为x，则x806090，解得x70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.故选C.法二：用Venn图表示阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.故选C.2已知定义在区间3,3上的函数f(x)2xm满足f(2)6，在3,3上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为()A. B. C. D.Bf(2)6，22m6，解得m2.由f(x)4，得2x24，即x1，而x3,3，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P.故选B.3标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ()A. B. C. D.A5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n5420，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P，故选A.4(2019郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是()A. B. C. D.C作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积Sa2aa21，1a2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为，故选C.5九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A. B.C1 D1D如图，直角三角形的斜边长为17，设其内切圆的半径为r，则8r15r17，解得r3，内切圆的面积为r29，豆子落在内切圆外的概率P11.6(2019全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_0980.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.7已知实数x，y满足|x|3，|y|2，则任取其中的一对实数x，y，使得x2y24的概率为_如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x|3，|y|2的点在矩形ABCD内(包括边界)，使得x2y24的点在图中圆O内(包括边界)由题意知，S矩形ABCD4624，S圆O4，故任取其中的一对实数x，y，使得x2y24的概率P.8从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是_从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即ABD，ACD，ACE，BCE，BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P.能力提升练(建议用时：15分钟)9某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383(1)设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率解(1)a(2.5123123.5174204.5155135.5863)4.(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|yx|4，符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x，y轴)所示记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A，则P(A).所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.10一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1i8，iN)，设样本平均数为，求|xi|0.5的概率解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n2 000，则z2 000(100300)(150450)600400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，得a2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求的概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1i8，iN)，|xi|0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个所以P(D)，即所求的概率为.题号内容押题依据1几何概型本题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中，既为几何概型输送了新鲜的“血液”，又为圆的知识找到了坚定的“着陆点”，使呆板、平淡的几何概型充满活力，很好地考查了考生的直观想象和数学运算的核心素养2频率分布直方图、分层抽样、概率本题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相交汇的试题，设问角度新颖、典型，有代表性，意在考查考生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养【押题1】如图，半圆、较大圆、小圆的直径比为421.若在该半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是()A.B.C.D.C设小圆的半径为r，因为半圆、较大圆、小圆的直径比为421，所以阴影部分的面积S1(2r)2r23r2，半圆的面积S(4r)28r2，根据几何概型的概率计算公式，得该点取自阴影部分的概率P.故选C.【押题2】临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，品质优良等特点而著称临潼石榴名居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重，其质量分布在区间200,500内(单位：克)，根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在350,400)，400,450)内的石榴中随机抽取5个，再从这5个石榴中随机抽取2个，求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据，以频率代表概率，已知该村大约还有100 000个石榴待出售，某电商提出如下两种收购方案：方案A：所有石榴均以20元/千克的价格收购方案B：低于350克的石榴以5元/个的价格收购，高于或等于350克的以9元/个的价格收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案解(1)由题得石榴质量在350,400)和400,450)内的比例为32，所以应分别在质量在350,400)和400,450)内的石榴中各抽取3个和2个记所抽取的质量在350,400)内的石榴为A1，A2，A3，质量在400,450)内的石榴为B1，B2，则从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A2，B1，A3，B1，A1，B2，A2，B2，A3，B2，B1，B2其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为.(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，石榴质量在200,250)内的频率为500.0010.05，同理，石榴质量在250,300)，300,350)，350,400)，400,450)，450,500内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购：因为石榴质量低于350克的个数为(0.050.160.24)100 00045 000，石榴质量不低于350克的个数为55 000个，所以总收益为45 000555 0009720 000(元)若按方案A收购：根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000，于是总收益为(2255 00027516 00032524 00037530 00042520 0004755 000)709 000(元)因为720 000709 000，即方案B的收益比方案A的收益高，所以该村应选择方案B.- 7 -
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